Argand-Ebene und Polardarstellung

Argand-Ebene

In den vorangegangenen Stunden hast du über die Zahlengerade gelesen. Sie ist eine praktische Möglichkeit, reelle Zahlen als Punkte auf einer Linie darzustellen. In ähnlicher Weise haben Sie über das kartesische Koordinatensystem gelesen. Es besteht aus drei aufeinander senkrecht stehenden Achsen und ist eine bequeme Art, eine Reihe von Zahlen (zwei oder drei) oder einen Punkt im Raum darzustellen.

Beginnen wir mit der Zahlengeraden. Stell dir vor, du bist eine Art Mathematikgott und hast gerade die reellen Zahlen erschaffen. Zufälligerweise hast du eine weitere Linie senkrecht zur reellen Achse gezeichnet. Was wird diese Linie sein? Sie ist definitiv nicht real. Daher muss sie imaginär oder die komplexe Linie sein.

Damit haben wir eine Möglichkeit, jede imaginäre Zahl grafisch darzustellen. Dazu müssen wir nur ihren Realteil und einen Imaginärteil finden. Zweitens stellen wir sie auf den beiden zueinander senkrechten Zahlengeraden dar. Der Schnittpunkt, wie oben gezeigt, ist der Ursprung unserer Ebene.

Die so gebildete Ebene ist als Argand-Ebene bekannt und ist eine bequeme Art, jede imaginäre Zahl grafisch darzustellen. Sei z = x + iy. Dann sei Re(z) = x und Im(z) = y.

• Grundlagen der komplexen Zahlen
• Operationen auf komplexen Zahlen
• Modul und Konjugat einer komplexen Zahl
• Komplexe quadratische Gleichungen

Das geordnete Paar (x,y) auf der Argand-Ebene stellt einen Punkt dar. Dieser Punkt entspricht unserer komplexen Zahl z. Wir ziehen eine gerichtete Linie von O zu dem Punkt P(x,y), der z darstellt. Sei θ der Winkel, den diese Linie mit der positiven Richtung der „Reellen Achse“ bildet. Daher ist (90 – θ) der Winkel, den sie mit der „Imaginären Achse“ einschließt.

Argument von z

Wie bereits festgestellt, kann jede komplexe Zahl irgendwo in der Argand-Ebene dargestellt werden. Dies folgt aus der Tatsache, dass die komplexen Zahlen bei der Anwendung unserer Algebra geschlossen sind. Stellen Sie sich vor, Sie stellen zwei Zahlen dar, z1 = 2 +3i und z2 = 2 – 3i. Wir können sehen, dass |z1| = |z2|. Ups! Was haben wir getan? Wenn du die beiden Punkte (2, 3) und (2, -3) aufzeichnest, wirst du feststellen, dass sie oberhalb und unterhalb der reellen Achsen symmetrisch sind. Wir nennen sie die Spiegelbilder voneinander.

Wie können wir den Unterschied zwischen ihnen feststellen? Wir führen eine weitere Größe ein, die wir das Argument von z1 und z2 nennen. Sie ist definiert als der Winkel „θ“, den die Verbindungslinie zwischen dem Punkt P (der unsere komplexe Zahl darstellt) und dem Ursprung O mit der positiven Richtung der „reellen Achsen“ bildet. Dies gibt jeder komplexen Zahl einen eindeutigen Sinn für eine Richtung oder Orientierung auf der Argand-Ebene. Daher können wir jeden Punkt auf der Argand-Ebene eindeutig darstellen.

Modul einer komplexen Zahl

In einem früheren Abschnitt haben wir den Modul einer imaginären Zahl z = a + ib als |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) definiert. Hier werden wir sehen, dass diese Definition perfekt mit der geometrischen Darstellung der komplexen Zahlen übereinstimmt.

In der obigen Abbildung nehmen wir an, die Pfeilspitze sei P (a, b), wobei P die Zahl z = a + ib darstellt. Dann kann die Länge von OP mit Hilfe der Abstandsformel herausgefunden werden als = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2} \)

Daher können wir sagen, dass OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Der Modulus ist also die Länge des Linienabschnitts, der den Punkt, der unserer komplexen Zahl entspricht, mit dem Ursprung der Argand-Ebene verbindet. Wie Sie sehen können, ist sie immer positiv, daher nennen wir sie Modulus. Jetzt passt alles zusammen, nicht wahr?

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Polare Darstellung

Wir haben verschiedene Arten von Koordinatensystemen. Eines davon ist das Polarkoordinatensystem. Es besteht nur aus einer Reihe von zueinander senkrechten Linien. Der Ursprung wird als Pol bezeichnet. Wir messen die Position eines beliebigen Punktes, indem wir die Länge der Linie messen, die ihn mit dem Ursprung verbindet, und den Winkel, den die Linie mit einer bestimmten Achse bildet. Wenn wir zum Beispiel den Wert von φ und r kennen, können wir P lokalisieren. Dies sind die Polarkoordinaten, r und φ.

Gleichermaßen können wir, wenn wir das Argument einer komplexen Zahl in der Argand-Ebene und die Länge OP kennen, die besagte Zahl lokalisieren. Sei r = OP. Wir wissen auch, dass OP = |z| = r ; wobei z = x + iy

Die Koordinaten von P sind (x, y). Im rechtwinkligen Dreieck sehen wir, dass x = r cos(θ) und y = r sin(θ). Wir können also schreiben: z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Dies, meine lieben Freunde, ist die polare Darstellung unserer komplexen Zahl z = x + iy mit:

Arg(z) = θ und |z| = r

Nun ist y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Daher ist θ = tan-1(y/x)

Mit dieser Beziehung können wir das Argument einer komplexen Zahl finden.

Gelöste Beispiele für Sie

Frage 1: Wenn z = -2(1+2i)/(3 + i) mit i= \( \sqrt{-1} \), dann ist das Argument θ(-π < θ ≤ π) von z:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Antwort : D) Da z = -2(1+2i)/(3 + i)

Multiplizieren und dividieren durch (3 – i), erhalten wir

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Vergleicht man dies mit z = x + iy, haben wir x = -1 und y = -1

Daher ist θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

Warum nicht \( \frac{π}{4} \) ? Nun, weil sowohl x als auch y negativ sind. Das bedeutet, dass der Punkt P jetzt im dritten Quadranten liegt. Daher ist θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Frage 2: Was ist die Grundstruktur eines Arguments?

Antwort: Ein Argument besteht aus mindestens einer Prämisse, die nicht zu einer Schlussfolgerung führt. Außerdem besteht es aus mindestens einer Prämisse und einem Trugschluss, mit dem wir eine Schlussfolgerung stützen. Darüber hinaus besteht ein Argument aus Prämissen, die zur Stützung einer Schlussfolgerung verwendet werden.

Frage 3: Was ist eine Argumentliste?

Antwort: Argument bezieht sich auf eine Liste, die wirin der kommagetrennten Liste, die von den Klammern in einem Funktionsaufruf-Ausdruck begrenzt wird, ausdrücken, oder es ist eine Folge von Verarbeitungs-Token in der kommagetrennten Liste, die von den Interpolationen in einem funktionsähnlichen Makroaufruf eingeschlossen wird.

Frage 4: Was ist der Unterschied zwischen dem Hauptargument und dem Argument?

Antwort: Den Wert, der zwischen -pi und pi liegt, nennt man das Hauptargument einer komplexen Zahl. Außerdem ist der Wert so, dass -π < θ = π. Außerdem ist θ eine periodische Funktion mit einer Periode von 2π, also können wir dieses Argument als (2nπ + θ) darstellen, wobei n eine ganze Zahl ist und dies ein allgemeines Argument ist.

Frage 5: Was ist das Argument einer reellen Zahl?

Antwort: Es ist der Winkel, den der Vektor und die komplexe Zahl mit der positiven reellen Achse bilden. Wenn die reelle Zahl positiv ist, dann ist die Antwort auch das Winkelmaß.