4.3: Kompressibilität und Ausdehnungsvermögen

Ableiten eines Ausdrucks für eine partielle Ableitung (Typ I): Die reziproke Regel

Betrachten wir ein System, das durch drei Variablen beschrieben wird und für das man eine mathematische Zwangsbedingung für die Variablen schreiben kann

\

Unter diesen Umständen kann man den Zustand des Systems angeben, indem man nur zwei Parameter unabhängig voneinander variiert, da der dritte Parameter einen festen Wert haben wird. So könnte man zwei Funktionen definieren: \(z(x, y)\) und \(y(x,z)\).

Damit kann man die Gesamtdifferentiale für \(dz\) und \(dy\) wie folgt schreiben

\

und

\

Setzt man den Ausdruck aus Gleichung \ref{eq6} in Gleichung \ref{eq5} ein:

\ &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \label{eq7} \end{align}\]

Wenn das System eine Änderung erfährt, die einem Pfad folgt, bei dem \(x\) konstant gehalten wird (\(dx = 0\)), vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

\

Und so für Änderungen, für die \(dz \neq 0\),

\

Diese reziproke Regel ist sehr praktisch bei der Handhabung von partiellen Ableitungen. Sie lässt sich aber auch auf eine einfache, wenn auch weniger strenge Weise herleiten. Beginnen Sie damit, das Gesamtdifferential für \(z(x,y)\) zu schreiben (Gleichung \ref{eq5}):

\

Dividieren Sie nun beide Seiten durch \(dz\) und beschränken Sie sich auf die Konstante \(x\).

\

Dass

\

\

und

\

Die Gleichung \ref{eq10} wird

\

oder

\

Diese „formale“ Methode der partiellen Ableitungsmanipulation ist bequem und nützlich, obwohl sie mathematisch nicht streng ist. Sie eignet sich jedoch für die Art von partiellen Ableitungen, wie sie in der Thermodynamik vorkommen, da es sich bei den Variablen um Zustandsvariablen handelt und die Differentiale exakt sind.