32.20 — Neutrales, stabiles und instabiles Gleichgewicht

Wenn man die Kugel auf den flachen Teil der Bahn (links) legt, ist das Gleichgewicht neutral. Die Kugel in der Mulde zeigt ein stabiles Gleichgewicht. Legt man die Kugel auf den Scheitelpunkt der Bahn (rechts), so zeigt sich ein instabiles Gleichgewicht.

Diese Demonstration veranschaulicht die drei Arten von Gleichgewicht, in denen sich ein Objekt (ein starrer Körper, d.h. ein Körper, dessen Bestandteile sich nicht gegeneinander bewegen) befinden kann, wenn es sich in einem Gravitationsfeld befindet. Diese drei Arten des Gleichgewichts ergeben sich aus den verschiedenen Arten, in denen sich die potenzielle Energie des Objekts ändern kann, wenn das Objekt aus seiner Position verschoben wird. Um diese Änderung der potenziellen Energie U im Verhältnis zur Schwerkraft auszudrücken, kann man Fx = -∂U/∂x, Fy = -∂U/∂y und Fz = -∂U/∂z schreiben. Wenn diese Änderung der potenziellen Energie für jede Richtung gleich Null ist, befindet sich das Objekt in dieser Richtung im translatorischen Gleichgewicht. Wenn wir eine bestimmte Koordinatenachse betrachten, können wir uns drei Fälle vorstellen, in denen diese partielle Ableitung gleich Null ist.

Einer ist, wenn die potentielle Energie konstant ist. Das heißt, eine Verschiebung in eine der beiden Richtungen ändert die potentielle Energie des Objekts nicht. Wenn das Objekt verschoben wird, erfährt es also keine Kraft, die entweder seine Verschiebung vergrößert oder es in seine ursprüngliche Position zurückbringt. Es befindet sich dann in einem neutralen Gleichgewicht. Wenn Sie die Kugel auf den horizontalen Teil der Bahn (links) legen, erfährt sie, egal wie Sie sie verschieben, keine seitliche Kraft in eine der beiden Richtungen. Dies veranschaulicht das neutrale Gleichgewicht.

Eine andere Möglichkeit ist, wenn die potentielle Energie ein Minimum ist. In diesem Fall erhöht die Verschiebung des Objekts nach einer Seite seine potentielle Energie, was zu einer (Gravitations-)Kraft führt, die das Objekt zurück in seine ursprüngliche Position bewegt. Es befindet sich in einem stabilen Gleichgewicht. Da die Verschiebung des Objekts seine potenzielle Energie erhöht, muss jede Kraft, die das Objekt aus seiner ursprünglichen Position verschieben würde, Arbeit an ihm verrichten, um dies zu tun. Die Kugel, die in der Mitte der Bahn ruht, veranschaulicht das stabile Gleichgewicht. Verschiebt man die Kugel nach einer der beiden Seiten, so rollt sie zurück in die Mitte.

Die dritte Möglichkeit besteht darin, dass die potentielle Energie ein Maximum erreicht hat; in diesem Fall senkt die Verschiebung des Objekts nach einer der beiden Seiten seine potentielle Energie. Dies führt zu einer (Gravitations-)Kraft, die das Objekt weiter von seiner ursprünglichen Position wegbewegt. Es befindet sich in einem instabilen Gleichgewicht. Da die Verschiebung des Objekts seine potenzielle Energie senkt, verrichtet die Schwerkraft die notwendige Arbeit, um das Objekt aus seiner ursprünglichen Position zu verschieben. Das rechte Ende der Bahn, das eine nach oben gerichtete Kurve aufweist, ermöglicht es, ein instabiles Gleichgewicht zu zeigen. Wenn man die Kugel am oberen Ende der Kurve platziert, führt jede leichte Verschiebung zu einer der beiden Seiten dazu, dass sie entweder in den Schacht hinunterrollt oder vom Ende der Schiene wegrollt.

1) Resnick, Robert und Halliday, David. Physics, Part One, Third Edition (New York: John Wiley and Sons, 1977), S. 291-3.