Pi: Det vigtigste tal i universet?

Af Edward B. Burger, Ph.D., Southwestern University

Et af de vigtigste tal i vores univers er tallet Pi eller π. Udforsk menneskehedens odyssé – forsøg gennem tiderne, der virkelig overskrider kulturerne – på at beregne, tilnærme sig og forstå dette gådefulde tal.

En definition

Selv om oprindelsen af π ikke kendes med sikkerhed, ved vi, at babylonierne beregnede π tilnærmelsesvis i base 60 omkring 1800 f.v.t. Definitionen af π er centreret omkring cirkler. Det er forholdet mellem omkredsen af en cirkel og dens diameter – et tal, der er lige lidt større end tre.

Konstanten π hjælper os med at forstå vores univers med større klarhed. Definitionen af π inspirerede til et nyt begreb om måling af vinkler, en ny måleenhed. Dette vigtige vinkelmål er kendt som “radianmål” og gav anledning til mange vigtige indsigter i vores fysiske verden. Hvad angår π selv, viste Johann Lambert i 1761, at π er et irrationelt tal, og senere, i 1882, beviste Ferdinand von Lindemann, at π ikke er en løsning på nogen polynomiel ligning med hele tal. Mange spørgsmål om π er dog stadig ubesvarede.

Lær mere: Geometri-Polygoner og cirkler

Eksperimentere med Pi

Alle diskussioner om oprindelsen af pi må begynde med et eksperiment med cirkler, som vi alle kan prøve. Tag en hvilken som helst cirkel og tag længden af omkredsen – som er længden rundt om – og mål den i forhold til diameteren, som er længden på tværs. Du vil ende op med tre diametre og lige lidt mere, og hvis du ser godt efter, er det lidt mere end 1/10 af vejen ekstra. Dette eksperiment viser os, at forholdet mellem omkredsen og diameteren vil være et tal, der ligger omkring eller er lidt større end 3,1. Uanset cirklens størrelse er omkredsen lidt større end tre gange dens diameter.

Dette er en udskrift fra videoserien Zero to Infinity. Se den nu, på The Great Courses.

Denne faste, konstante værdi fik et navn, og vi kalder den π. Hvordan siger vi det mere præcist? Tallet π er defineret som værende lig med forholdet mellem omkredsen af en cirkel og dens diameter på tværs. Dette forhold er konstant. Uanset hvilken cirkelstørrelse vi prøver det med, vil dette tal altid være det samme. Det begynder med 3,141592653589, og det bliver ved.

Symbolet π kommer fra det græske bogstav π, fordi det græske ord for “periferi” begynder med det græske bogstav π. Periferien af en cirkel var forløberen for omkredsen af en cirkel, som vi i dag kalder omkredsen. Symbolet π optræder første gang i William Jones’ tekst A New Introduction to Mathematics fra 1709, og symbolet blev senere gjort populært af den store schweiziske matematiker Leonhard Euler fra det 18. århundrede omkring 1737.

Lær mere: Fra Babylon til Bibelen

For at gå fra navnet til værdien findes der beviser for, at babylonierne tilnærmede sig π i base 60 omkring 1800 f.Kr. De mente faktisk, at π = 25/8 eller 3,125 – en utrolig tilnærmelse så tidligt i menneskets historie. Den gamle egyptiske skribent Ahmes, som er forbundet med den berømte Rhind-papyrus, gav en tilnærmelse på 256/81, hvilket svarer til 3,16049. Igen ser vi en imponerende tilnærmelse af denne konstant. Der er endda en implicit værdi af π angivet i Bibelen. I 1 Kongebog 7:23 siges det, at et rundt bækken har en omkreds på 30 kubit og en diameter på 10 kubit. I Bibelen står der således implicit, at π er lig med 3 (30/10).

Det er ikke overraskende, at efterhånden som menneskehedens forståelse af tal udviklede sig, udviklede den også sin evne til bedre at forstå og dermed estimere π selv. I år 263 mente den kinesiske matematiker Liu Hui, at π = 3,141014.

Omkring 200 år senere anslog den indiske matematiker og astronom Aryabhata π med brøken 62.832/20.000, hvilket svarer til 3,1416 – et virkelig forbløffende skøn. Omkring 1400 beregnede den persiske astronom Kashani π korrekt med 16 cifre.

Sådan måler man vinkler med Pi

Lad os bryde ud af denne historiske jagt på cifrene i π og betragte π som et vigtigt tal i vores univers. I betragtning af π’s forbindelse med måling af cirklers omkreds blev de lærde inspireret til at bruge det som et mål for vinkelafstand. Overvej en cirkel med radius 1. Radius er blot målet fra centrum ud til siden. Det er halvdelen af diameteren.

De traditionelle enheder for målinger af vinkler er naturligvis grader. Med grader har en fuldstændig omdrejning rundt om cirklen et mål på 360 grader, hvilket tilfældigvis er omtrent lig med antallet af dage i et helt år, og hvilket måske forklarer, hvorfor vi tænker på én gang rundt som 360.

I stedet for det vilkårlige mål 360 til at betyde én gang rundt om cirklen, så lad os regne den faktiske længde af at rejse rundt om denne særlige cirkel, en cirkel med radius 1, én gang rundt ud. Hvad er længden og omkredsen af den? Hvis vi har en radius på 1, så er vores diameter dobbelt så stor, 2, og vi ved derfor, at den ene omgang vil være 2 gange π, fordi omkredsen er π gange diameteren.

En gang rundt vil være 2π. En fuld omdrejning rundt, som er en vinkel på 360 grader, ville blive fejet ud med en omkredslængde på 2π i denne særlige cirkel. Halvvejs rundt ville være 180 grader, og vi ville feje halvdelen af omkredsen ud, hvilket i dette tilfælde ville være π. 90 grader ville feje en fjerdedel af cirklen ud, og for denne særlige cirkel ville det have længden π/2, eller halvdelen af π.

Vi begynder at se, at hver vinkel svarer til en afstand, der måles en del af eller hele vejen rundt om denne særlige cirkel med radius 1. Med andre ord kan vi for en hvilken som helst vinkel måle længden af den bue af denne cirkel, der er fejet ud af den pågældende vinkel.

Denne bue-længde giver en ny måde at repræsentere målet for en vinkel på, og vi kalder dette mål for vinkler for “radianmål”. For eksempel 360 grader = 2π radianer, det er enhederne; 180 grader svarer til π radianer, og 90 grader vil svare til π/2 radianer. Husk, at alle disse mål altid er baseret på en særlig cirkel, der har radius 1.

Lær mere om geometri og transformationstaktikken

Radianmål og potensen af Pi

Det viser sig, at dette radianmål er meget mere nyttigt til at måle vinkler til matematik og fysik end det mere velkendte gradmål. Denne kendsgerning er ikke overraskende. Radianmålet er naturligt forbundet gennem omkredslængden med vinklen, snarere end det mere arbitrære gradmål, der ikke har noget matematisk grundlag. Det repræsenterer en tilnærmelse gennem et helt år.

Tegningen radian optrådte første gang på tryk i 1870’erne, men på det tidspunkt havde store matematikere, herunder den store matematiker Leonhard Euler, brugt vinkler målt i radianer i over hundrede år.

Tallet π optræder i utallige vigtige formler og teorier, herunder Heisenbergs usikkerhedsprincip og Einsteins feltligning fra den generelle relativitetsteori. Det er en vigtig formel og et vigtigt tal i hele verden.

Fælles spørgsmål om tallet Pi

Denne artikel blev opdateret den 28. april 2020