Orthonormale vektorer

Hvad er en ortonormal vektor?

En vektor siges at være normal, hvis den har en længde på én. To vektorer siges at være ortogonale, hvis de står vinkelret på hinanden (deres prikprodukt er nul). Et sæt af vektorer siges at være ortonormale, hvis de alle er normale, og hvert vektorpar i sættet er ortogonale.

Orthonormale vektorer bruges normalt som en basis på et vektorrum. Etablering af et ortonormalt grundlag for data gør beregninger betydeligt lettere; f.eks. er længden af en vektor simpelthen kvadratroden af summen af kvadraterne af koordinaterne for den pågældende vektor i forhold til et eller andet ortonormalt grundlag.

QR-dekomponering

En QR-dekomponering af en reel kvadratisk matrix A er processen med at finde to matricer Q og R, således at:

• A = QR

• Q er en ortogonal matrix

• R er en øverste trekantet matrix

(hvis A er en kompleks kvadratisk matrix eller er en rektangulær matrix, vil Q være en enhedsmatrix.)

Der findes en række metoder til at beregne en QR-dekomponering for en matrix, herunder Gram-Schmidt-processen, Householder-transformationer eller Givens-rotationer. Hver metode har fordele og ulemper, så implementatorer bør studere hver af disse algoritmer omhyggeligt for et givet problem.

QR-dekomponering anvendes ofte i løsningen af det lineære mindste kvadraters problem. Den er også grundlaget for en egenvektor-findingsalgoritme, der passende nok hedder QR-algoritmen (selv om den moderne form af algoritmen ironisk nok faktisk ikke indebærer beregning af en QR-dekomponering!)