MathBootCamps

Lineære ligninger med én variabel er ligninger, hvor variablen har en eksponent på 1, som typisk ikke vises (det forstås). Et eksempel ville være noget i stil med \(12x = x – 5\). For at løse lineære ligninger er der ét hovedmål: at isolere variablen. I denne lektion vil vi se på, hvordan dette gøres gennem flere eksempler.

Indholdsfortegnelse

1. Eksempler på løsning af entrinsligninger
2. Eksempler på løsning af totrinsligninger
3. Eksempler på løsning af totrinsligningertrinligninger
4. Eksempler på ligninger, hvor du skal forenkle først
5. Uendeligt mange eller ingen løsninger
6. Resumé

Eksempler på løsning af lineære ligninger i et trin

Efter alt dit hårde arbejde med at løse ligningen, ved du, at du ønsker et endeligt svar som \(x=5\) eller \(y=1\). I begge disse tilfælde er variablen isoleret, eller af sig selv.

Så vi skal finde ud af, hvordan vi kan isolere variablen. Hvordan vi gør det, afhænger af selve ligningen! Hvis den er blevet ganget med noget, skal vi dividere. Hvis der er blevet lagt noget til den, trækker vi den fra. Ved at gøre dette vil vi langsomt få variablen for sig selv.

Lad os bruge et eksempel for at se, hvordan dette fungerer.

Eksempel

Løs ligningen: \(4x = 8\)

Løsning

I dette eksempel er 4’eren multiplicerer \(x\). For at isolere \(x\) skal du derfor dividere denne side med 4. Når du gør dette, skal du huske en vigtig regel: Hvad du gør ved den ene side af ligningen, skal du også gøre ved den anden side. Vi skal altså dividere begge sider med 4.

\(\begin{align}4x &= 8 \\ \\ \dfrac{4x}{\color{red}{4}}} &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}}\end{align}}\)

Simplificering:

\(x = \boxed{2}\)

Det var det, et skridt og vi er færdige. (Det er derfor, at ligninger som disse ofte kaldes “et-trins-ligninger”)

Kontrol

Når du løser lineære ligninger, kan du altid kontrollere dit svar ved at indsætte det tilbage i ligningen. Hvis du får et sandt udsagn, så er svaret korrekt. Dette er ikke 100 % nødvendigt for alle opgaver, men det er en god vane, så vi vil gøre det for vores ligninger.

I dette eksempel var vores oprindelige ligning \(4x = 8\). For at kontrollere dette skal du kontrollere, at følgende er sandt:

\(\begin{align}4x &= 8\\\\ 4(2) &= 8 \\ 8 &= 8\end{align}\)

Dette er et sandt udsagn, så vores svar er korrekt.

For enhver ligning gælder det, at uanset hvilken operation man foretager på den ene side, skal den også foretages på den anden side

Lad os prøve et par eksempler mere, før vi går videre til mere komplekse ligninger.

Eksempel

Løs:

Løsning

Da \(x\) ganges med 3, er planen at dividere med 3 på begge sider:

\(\begin{align}3x &=12\\\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}} &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}}\\ x&= \boxed{4}\end{align}}\)

Tjek

For at tjekke vores svar vil vi lade \(x = 4\) og indsætte det tilbage i ligningen:

\(\begin{align}3x &= 12\\\\3(4) &= 12 \\ 12 &= 12\end{align}\)

Som før, da dette er et sandt udsagn, ved vi, at vores svar er korrekt.

I det næste eksempel bliver variablen i stedet for at blive ganget med en værdi, fratrukket en værdi fra variablen. For at “fortryde” dette, tilføjer vi denne værdi til begge sider.

Eksempel

Løs det: \Denne gang trækkes 9 fra y. Vi vil derfor ophæve dette ved at tilføje 9 til begge sider.

\(\begin{align}y-9&=21\\\ y-9 \color{rød}{+9}&=21\color{rød}{+9}\\y&=30\end{align}\)

Næste gang skal vi se på det, der almindeligvis kaldes “totrinsligninger”. I disse ligninger skal vi fortryde to operationer for at isolere variablen.

Eksempler på totrinsligninger

I hvert af de ovenstående eksempler var der et enkelt trin, der skulle udføres, før vi havde vores svar. I de næste eksempler vil du se, hvordan du kan arbejde med ligninger, der i stedet har to trin. Hvis der er mere end én operation, er det vigtigt at huske rækkefølgen af operationerne, PEMDAS. Da du fortryder operationerne til \(x\), arbejder du fra “udefra og ind”. Dette er lettere at forstå, når du ser det i et eksempel.

Eksempel

Løs:

Løsning

Opmærksomheden henledes på de to operationer, der sker med \(x\): den ganges med 2 og får derefter 7 fratrukket. Vi bliver nødt til at fortryde disse. Men det er kun \(x\), der bliver ganget med 2, så det første skridt er at lægge 7 til begge sider. Derefter kan vi dividere begge sider med 2.

Tilføjer 7 til begge sider:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\\ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \color{red}{+7}\\ 2x&=20\end{align}\)

Divider nu begge sider med 2:

\(\begin{align} 2x &=20 \\ \\dfrac{2x}{\color{red}{2}}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}}\\ x&= \boxed{10}\end{align}}\)

Kontroller

Ganske som med de enklere problemer, kan du kontrollere dit svar ved at indsætte din værdi af \(x\) tilbage i den oprindelige ligning.

\(\begin{align}2x-7&=13\\\\ 2(10) – 7 &= 13\\\ 13 &= 13\end{align}\)

Dette er sandt, så vi har det rigtige svar.

Lad os se på endnu et eksempel i to trin, før vi hopper op i sværhedsgrad igen. Sørg for, at du forstår hvert enkelt trin, der er vist, og arbejd dig også igennem problemet.

Eksempel

Løs: \(5w + 2 = 9\)

Løsning

Som ovenfor er der to operationer: \(w\) ganges med 5 og får dernæst 2 lagt til. Vi ophæver disse ved først at trække 2 fra begge sider og derefter dividere med 5.

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\\ 5w &= 7\\\\dfrac{5w}{\color{red}{5}}} &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}}\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}}\end{align}}\)

Brøken til højre kan ikke forenkles, så det er vores endelige svar.

Check

Lad \(w = \dfrac{7}{5}}\). Så:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\\ 5\venstre(\dfrac{7}{5}{højre) + 2 &= 9\\\ 7 + 2 &= 9\\ 9 &= 9 \end{align}\)

Så har vi endnu engang det rigtige svar!

Forenkling før løsning

I de følgende eksempler er der flere variable udtryk og muligvis en forenkling, der skal finde sted. I hvert tilfælde vil trinene være, at vi først forenkler begge sider og derefter bruger det, vi har gjort, til at isolere variablen. Vi vil først se nærmere på et eksempel for at se, hvordan det hele fungerer.

For at forstå dette afsnit skal du være fortrolig med at kombinere ens udtryk.

Eksempel

Løs:

Løsning

Da begge sider er forenklet (der er ingen parenteser, som vi skal finde ud af, og ingen lignende termer, der skal kombineres), er det næste skridt at få alle x’erne på den ene side af ligningen og alle tallene på den anden side. Den samme regel gælder – hvad du gør ved den ene side af ligningen, skal du også gøre ved den anden side!

Det er muligt at flytte enten \(3x\) eller \(4x\). Lad os antage, at du har flyttet \(4x\). Da den er positiv, ville du gøre dette ved at trække den fra begge sider:

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\\\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Nu ser ligningen ud som dem, der blev arbejdet med før. Næste skridt er at trække 2 fra begge sider:

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\-x=-3\end{align}\)

Sluttelig, da \(-x= -1x\) (dette er altid sandt), divideres begge sider med \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}}\\ x&=3\end{align}\)

Tjek

Du bør tage dig et øjeblik og kontrollere, at følgende er et sandt udsagn:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

I det næste eksempel skal vi bruge den distributive egenskab, før vi løser. Det er let at begå en fejl her, så sørg for at fordele tallet foran parentesen på alle termerne indeni.

Eksempel

Løs:

Løsning

Først fordeler du 3 og -3, og samler ens termer.

\(\begin{align} 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\ 3x+5&=-2x-3\end{align}\)

Nu kan vi lægge 2x til begge sider. (Husk, at du vil få det samme svar, hvis du i stedet trak 3x fra begge sider)

\(\begin{align} 3x+5\color{red}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\\ 5x+5& =-3\end{align}\)

Fra her kan vi løse som vi gjorde med andre totrinsligninger.

\(\begin{align}5x+5\color{red}{-5} &=-3\color{red}{-5}\\\ 5x &=-8\\\ \dfrac{5x}{\color{red}{5}}}&=\dfrac{-8}{\color{red}{5}}}\\\ x &= \dfrac{-8}{5} \\ &=\boxed{-\dfrac{8}{5}}}\end{align}}\)

Check

Dette var en svær opgave, så husk at tjekke dit svar og sikre dig, at der ikke er begået nogen fejl. For at gøre det skal du sikre dig, at følgende er et sandt udsagn:

\(3\left(-\dfrac{8}{5}{5}+2\right)-1=\left(-\dfrac{8}{5}{5}\right)-3\left(-\dfrac{8}{5}{5}+1\right)\)

(Bemærk: det virker – men du skal være meget forsigtig med parenteser!)

Uendeligt mange løsninger og ingen løsninger

Der er tilfælde, hvor man følger alle disse trin, og der kommer en virkelig mærkelig løsning frem. For eksempel, når man løser ligningen \(x+2=x+2\) ved hjælp af ovenstående trin, ender man med \(0=0=0\). Dette er ganske vist sandt, men hvad hjælper det?

Hvis du får et udsagn som dette, betyder det, at ligningen har uendeligt mange løsninger. Enhver \(x\) du kan komme i tanke om, vil opfylde ligningen \(x+2=x+2\). Det passende svar i dette tilfælde er “uendeligt mange løsninger”.

Den anden situation opstår, når man forenkler en ligning ned til et udsagn, der aldrig er sandt, som f.eks. \(3=4\) eller \(0=1\). Dette sker med ligningen \(x+5=x-7\), som vil føre til \(5= -7\), noget som bestemt aldrig er sandt. Det betyder, at ingen \(x\) vil kunne opfylde denne ligning. Med andre ord “ingen løsning”. Sammenfattende:

• Hvis man får et udsagn, der altid er sandt som \(5 = 5\) eller \(0 = 0\), så er der uendeligt mange løsninger.
• Hvis man får et udsagn, der altid er falsk som \(10 = 11\) eller \(1 = 5\), så er der ingen løsninger.

Summarum

Løsning af lineære ligninger handler om at isolere variablen. Afhængigt af ligningen kan dette tage så lidt som ét trin eller mange flere trin. Tjek altid, om du skal forenkle den ene eller begge sider af ligningen først, og tjek altid dit svar.

Abonner på vores nyhedsbrev!

Vi udsender hele tiden nye gratis lektioner og tilføjer flere studievejledninger, lommeregnervejledninger og problempakker.

Afmeld dig for at få lejlighedsvise e-mails (en gang hver anden eller tredje uge), der fortæller dig, hvad der er nyt!