Ligevægtspunkt

Punktet x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}\\i \mathbb {R} ^{n}}}

er et ligevægtspunkt for differentialligningen d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )} }

hvis f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{ {\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

for alle t {\displaystyle t}

.

Sådan er punktet x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}}\\i \mathbb {R} ^{n}}}

er et ligevægtspunkt (eller fast punkt) for differentialligningen x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={{\tilde {\mathbf {x} }}}

for k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Equilibrierne kan klassificeres ved at se på fortegnene på egenværdierne i linearisering af ligningerne om ligevægtene. Det vil sige, at ved at evaluere den jacobiske matrix ved hvert af systemets ligevægtspunkter og derefter finde de resulterende egenværdier, kan ligevægtene kategoriseres. Derefter kan systemets opførsel i nærheden af hvert enkelt ligevægtspunkt bestemmes kvalitativt (eller endda kvantitativt i nogle tilfælde) ved at finde den eller de egenvektorer, der er knyttet til hver egenværdi.

Et ligevægtspunkt er hyperbolisk, hvis ingen af egenværdierne har en realdel på nul. Hvis alle egenværdier har negativ realdel, er ligevægtspunktet en stabil ligning. Hvis mindst én har en positiv realdel, er ligevægtspunktet et ustabilt knudepunkt. Hvis mindst én egenværdi har negativ realdel og mindst én har positiv realdel, er ligevægten et saddelpunkt.