Kompleksitetsanalyse af en Cournot-Bertrand-duopolspilmodel med begrænset information

Abstrakt

Der er tale om en Cournot-Bertrand-duopolspilmodel med begrænset information om markedet og modstanderen, hvor markedet har lineær efterspørgsel, og to virksomheder har de samme faste marginalomkostninger. Principperne for beslutningstagning er afgrænset rationelle. Den ene virksomhed vælger produktion og den anden vælger pris som beslutningsvariabel, idet det antages, at der er en vis grad af differentiering mellem de produkter, som virksomhederne tilbyder, for at undgå, at hele markedet optages af den virksomhed, der anvender en lavere pris. Det undersøges, om der findes et Nash-ligevægtspunkt og spillets lokale stabilitet. Den komplekse dynamik, som f.eks. bifurkationsscenarier og vejen til kaos, vises ved hjælp af parameterbassinplots ved hjælp af numeriske eksperimenter. Parametrenes indflydelse på systemets ydeevne diskuteres ud fra et økonomisk perspektiv.

1. Indledning

Et oligopol er en markedsstruktur mellem monopol og fuldkommen konkurrence, hvor markedet er fuldstændig kontrolleret af kun få virksomheder, der producerer de samme eller ensartede produkter . Hvis der er to virksomheder, kaldes det et duopol, mens det kaldes et triopol, hvis der er tre konkurrenter.

Cournot-oligopol og Bertrand-oligopol er de to mest kendte modeller inden for oligopolitikken. I Cournot-modellen kontrollerer virksomhederne deres produktionsniveau, hvilket påvirker markedsprisen, mens virksomhederne i Bertrand-modellen vælger prisen på en enhed af et produkt for at påvirke markedsefterspørgslen.

En stor del af litteraturen beskæftiger sig med Cournot- eller Bertrand-konkurrence på et oligopolistisk marked , men der findes kun et betydeligt mindre antal værker, der beskæftiger sig med Cournot-Bertrand-konkurrence, som er kendetegnet ved, at markedet kan opdeles i to grupper af virksomheder, hvoraf den første optimalt justerer priserne, og den anden optimalt justerer sin produktion for at sikre maksimal profit .

Cournot-Bertrand-modellen findes i realistisk økonomi. På et duopolmarked konkurrerer den ene virksomhed f.eks. i en dominerende stilling, og den vælger produktionen som beslutningsvariabel, mens den anden virksomhed er i undertal, og den vælger prisen som beslutningsvariabel for at opnå større markedsandele. Som vi hidtil har vidst, er Bylka og Komar og Singh og Vives de første forfattere, der har analyseret duopoler, hvor den ene virksomhed konkurrerer på mængder og den anden på priser. Häckner , Zanchettin og Arya et al. påpegede, at Cournot-Bertrand-konkurrence i nogle tilfælde kan være optimal. For nylig analyserede C. H. Tremblay og V. J. Tremblay den rolle, som produktdifferentiering spiller for de statiske egenskaber af Nash-ligevægten i et Cournot-Bertrand-duopol. Naimzada og Tramontana har undersøgt en Cournot-Bertrand-duopolmodel, som er karakteriseret ved lineære differentialligninger. De analyserede også den rolle, som dynamikken i det bedste svar og den adaptive tilpasningsmekanisme spiller for stabiliteten af ligevægten.

I denne artikel opstiller vi en Cournot-Bertrand-duopolmodel, idet vi antager, at to virksomheder vælger henholdsvis produktion og pris som beslutningsvariable, og at de alle har begrænsede rationelle forventninger. Spilsystemet kan beskrives ved hjælp af ikke-lineære differentialligninger, hvilket ændrer og udvider resultaterne af Naimzada og Tramontana , som betragtede virksomheder med statiske forventninger og beskrev dem ved hjælp af lineære differentialligninger. Forskningen vil føre til en god vejledning for virksomhedens beslutningstagere, så de kan træffe de bedste beslutninger.

Papiret er organiseret som følger Cournot-Bertrand-spilmodellen med begrænsede rationelle forventninger er beskrevet i afsnit 2. I afsnit 3 undersøges eksistensen og stabiliteten af ligevægtspunkter. Dynamisk adfærd under visse ændringer af spillets kontrolparametre undersøges ved hjælp af numeriske simuleringer i afsnit 4. Endelig drages der en konklusion i afsnit 5.

2. Cournot-Bertrand-spilmodellen med begrænsede rationelle forventninger

Vi betragter et marked, der betjenes af to virksomheder, og virksomheden producerer varen , . Der er en vis grad af differentiering mellem produkterne og . Virksomhed 1 konkurrerer med hensyn til produktion som i et Cournot-duopol, mens virksomhed 2 fastsætter sin pris som i Bertrand-sagen. Lad os antage, at virksomhederne træffer deres strategiske valg samtidig, og at hver virksomhed kender den anden virksomheds produktion og pris.

De omvendte efterspørgselsfunktioner for produkter af sort 1 og 2 stammer fra den repræsentative forbrugers maksimering af følgende nyttefunktion: med forbehold af budgetbegrænsningen og er givet ved følgende ligninger (se det detaljerede bevis): hvor parameteren angiver indekset for produktdifferentiering eller produktsubstitution. Graden af produktdifferentiering vil stige med . Produkterne og er homogene, når , og hver virksomhed er monopolist, når , mens et negativt tal betyder, at produkterne er komplementære. Det antages, at de to virksomheder har de samme marginalomkostninger , og at omkostningsfunktionen har den lineære form: Vi kan skrive efterspørgselssystemet i de to strategiske variabler og : Profitfunktionerne for virksomhed 1 og 2 har følgende form:

Vi antager, at de to virksomheder ikke har et fuldstændigt kendskab til markedet og den anden aktør, og at de udarbejder beslutninger på grundlag af den forventede marginalgevinst. Hvis marginalgevinsten er positiv (negativ), øger (sænker) de deres produktion eller pris i den næste periode; de er altså begrænsede rationelle aktører . Derefter kan det blandede dynamiske Cournot-Bertrand-system beskrives ved de ikke-lineære differentialligninger: hvor og repræsenterer henholdsvis de to aktørers tilpasningshastighed i hver relation.

3. Ligevægtspunkter og lokal stabilitet

Systemet (6) har fire ligevægtspunkter: hvor , . , , , , og er de grænselignende ligevægtspunkter, og er det unikke Nash-ligevægtspunkt, forudsat at og , der kræver . I modsat fald vil der være en virksomhed, der er ude af markedet.

For at undersøge den lokale stabilitet af ligevægtspunkterne, lad være den jacobiske matrix for system (6), der svarer til tilstandsvariablerne , så hvor , . Stabiliteten af ligevægtspunkterne vil blive bestemt af karakteren af ligevægtseigenværdierne i den jacobiske matrix, der evalueres ved de tilsvarende ligevægtspunkter.

Sætning 1. Randlige ligevægte , , , og i system (6) er ustabile ligevægtspunkter, når .

Bevis. For ligevægt , er den jacobiske matrix for system (6) lig med Disse egenværdier, der svarer til ligevægt, er som følger: Det er klart, at , så er ligevægtspunktet ustabilt.
Også ved den jacobiske matrix bliver en trekantet matrix Disse egenværdier, der svarer til ligevægt, er som følger: Når , åbenbart . Så er ligevægtspunktet ustabilt. På samme måde kan vi bevise, at er også ustabilt.

Fra et økonomisk synspunkt er vi mere interesseret i undersøgelsen af de lokale stabilitetsegenskaber for Nash-ligevægtspunktet , hvis egenskaber er blevet analyseret grundigt i .

Den jacobiske matrix evalueret ved Nash-ligevægtspunktet er som følger

Sporet og determinanten af er betegnet som henholdsvis og ,. Med hensyn til punktet , , , og , er det nu vanskeligere at beregne egenværdierne eksplicit, men det er stadig muligt at vurdere stabiliteten af Nash-ligevægtspunktet ved hjælp af følgende stabilitetsbetingelser, kendt som Jury’s betingelser : Ovenstående uligheder definerer et område, hvor Nash-ligevægtspunktet er lokalt stabilt. Vi kan også lære mere om stabilitetsområdet ved hjælp af numeriske simuleringer. For at studere den komplekse dynamik i system (6) er det praktisk at tage parameterværdierne som følger: Figur 1 viser stabilitets- og ustabilitetsområderne i parameterplanet. Af figuren fremgår det, at en for høj tilpasningshastighed vil få Nash-ligevægtspunktet til at miste stabiliteten. Vi finder også, at prisens tilpasningshastighed er mere følsom end produktionens hastighed, og når den er omkring , vil Nash-ligevægtspunktet miste stabiliteten, mens omkring Nash-ligevægtspunktet vil gøre det.

Figur 1

Stabilitets- og ustabilitetsområdet.

4. Parametrenes indvirkning på systemets stabilitet

Parameterbassinplots (også kaldet 2D-bifurkationsdiagrammer) er et mere effektivt værktøj i den numeriske analyse af ikke-lineær dynamik end 1D-bifurkationsdiagrammer , som tildeler forskellige farver i et 2D-parameterrum til stabile cyklusser af forskellige perioder. I dette afsnit vil parameterbassindiagrammerne blive anvendt til at analysere virkningerne af aktørernes tilpasningshastighed og produktdifferentieringsindekset på systemets stabilitet. Vi indstiller og de indledende værdier er valgt som .

4.1. Virkningerne af spillernes tilpasningshastighed på systemets stabilitet

Figur 2 viser parameterbassinet med hensyn til parametrene, når og tildeler forskellige farver til stabile steady states (mørkeblå); stabile cyklusser i perioderne 2 (lyseblå), 4 (lilla) og 8 (grøn) (de første fire cyklusser i en periode-dobbelt bifurkationsvej til kaos) og perioderne 3 (rød), 5 (orange) og 7 (pink) (stabile cyklusser af lav orden i ulige perioder); kaos (gul); divergens (hvid) (hvilket betyder, at en af aktørerne vil være ude af markedet i økonomi).

Figur 2

Parameterbassinet for .

Vi kan konstatere, at når parametrene passerer gennem grænserne som de sorte pile og , mister systemet (6) sin stabilitet gennem flip-bifurkation (kaldet periode-doblings-bifurkation i kontinuerlige systemer), som vist i figur 3 og 4. Men når parametrene krydser grænserne som pilen , er systemets dynamiske opførsel mere kompliceret, og det går først ind i kaos gennem Neimark-Sacker-bifurkation (kaldet Hopf-bifurkation i kontinuerlige systemer) , går derefter ind i periode 2 og udvikler sig derefter til kaos gennem flip-bifurkation separat, som vist i figur 5. Vi bemærker også, at der i det gule område (kaos) er en rød linje og orange punkter (ulige cyklus); det vil sige, at der er intermitterende ulige cyklus i kaoset, som vist i figur 3 til figur 5. Det er velkendt, at for 1D-kontinuerlige kort indebærer en cyklus med ulige periode kaotisk dynamisk adfærd (det såkaldte topologiske kaos) i henhold til det berømte resultat “periode 3 indebærer kaos” af Li og Yorke .

Figur 3

Bifurkationsdiagram for og varierer fra 1,5 til 3,5.

Fra økonomiens perspektiv bør virksomhedernes tilpasningshastighed og ligge inden for et vist interval; ellers vil systemet komme frem cyklusudsving og derefter ud i kaos, hvilket betyder uregelmæssig, følsom over for begyndelsesværdier, uforudsigelig og dårlig for økonomien. Vi finder også, at det justerbare område for er større end for , hvilket betyder, at justeringen af prisen er mere følsom end justeringen af produktionen, og at priskrig er lettere at få markedet ud i kaos.

4.2. Virkningerne af produktdifferentieringsindekset på systemets stabilitet

For at finde produktdifferentieringsindeksets påvirkninger af systemets stabilitet vises i figur 6, 7, 8 og 9 parameterbassinerne for , , , og separat.

Figur 6

Parameterbassinet for .

Fra sammenligningen kan vi se, at det mørkeblå område bliver større og det gule område bliver mindre med stigningen i indekset for produktdifferentiering ; det vil sige, at graden af produktdifferentiering er mindre, og det justerbare område for parametre og for at få systemet til at forblive stabilt bliver større, hvilket betyder mere konkurrence mellem de to virksomheders produkter.

5. Konklusioner

I dette papir foreslår vi en Cournot-Bertrand blandet spilmodel, idet vi antager, at virksomhederne ikke har de fuldstændige oplysninger om markedet og modstanderen, og de træffer deres beslutninger i henhold til deres egen marginale fortjeneste. Det antages, at efterspørgsels- og omkostningsfunktionen er lineær, og modellen kan beskrives ved hjælp af differentialligninger. Grænseligevægten er altid ustabil, og eksistensen og den lokale stabilitet af Nash-ligevægten analyseres. Desuden analyseres virkningerne af parametrene (tilpasningshastighed og indekset for produktdifferentiering) på systemets stabilitet, og forskellige bifurkationer og veje til kaos analyseres ved hjælp af parameterbassinplots. Cournot-Bertrand-spilmodellerne under forskellige markedsføringsmiljøer skal overvejes, og det vil være et interessant emne for fremtidige undersøgelser.

Tilbagekaldelse

Forfatterne takker de personer, der har gennemgået det, for deres omhyggelige læsning og for at have givet nogle relevante forslag. Forskningen blev støttet af National Natural Science Foundation of China (no. 61273231).