Kan Pi være endeligt?

Er det muligt, at pi er endeligt, men at vi ikke har beregnet det fuldt ud? blev oprindeligt vist på Quora: The place to gain and share knowledge, empowering people to learn from others and better understand the world.

Svar af Alon Amit, ph.d. i matematik, på Quora:

Er det muligt, at pi er endeligt, men vi har ikke beregnet det fuldt ud?

Min første reaktion på dette spørgsmål, og mange andre som det, er irritation. Er det rigtigt? Igen? Men lad mig starte med et par ærlige svar, før jeg giver mig hen i noget velovervejet skældsord.

Det er ikke muligt, at decimaludvidelsen af π er endelig, og at vi bare ikke har været tålmodige nok. π er et irrationelt tal, og irrationelle tal har decimaludvidelser uden afslutning og uden gentagelse. Det er en kendsgerning, ikke en tro eller et håb.

Det er muligt, at den, der har undervist dig om decimaludvidelsen af π, fejlagtigt har præsenteret det som “det er aldrig lykkedes os at nå til enden” eller “vi har aldrig fundet et mønster” eller “vi har ikke været i stand til at beregne det fuldt ud”. Sådanne udsagn er noget vrøvl. Vi ved med fuldstændig præcision, hvad π er, og vi kan bevise, at det er irrationelt, ligesom vi kan bevise, at √17 er det.

Dette har man vidst i 250 år nu.

Det bør også gå op for dig, at decimaludvidelser normalt er forfærdelige til at repræsentere tal “fuldt ud”. De kan ikke engang repræsentere 1/7 fuldt ud. Der er mange andre måder at repræsentere tal på, og π har masser af helt finitte og klare repræsentationer.

Til sidst skal du ikke lade dig forlede til at tro, at “π er uendelig”. Det er det ikke. Det er et endeligt tal, mindre end 44. Endnu en gang er decimaludvidelsen bare forvirrende for dig. Du ville ikke sige, at 1/7 er uendelig, vel? Eller √2?

Og nu … det, jeg virkelig gerne vil vide, er: Hvorfor? Hvorfor bliver spørgsmålet ved med at komme op, igen og igen og igen og igen og igen og igen og igen? Hvorfor er folk så bekymrede over den decimale udvidelse af π? Hvad er problemet med, at den er uendelig? Er det en slags plet på vores eksistens? En forhindring, som vi skal arbejde os udenom? Et problem? En bekymring? Hvorfor?

Kan π være et endeligt tal i et ikke-euklidisk rum?

Er der en base, hvor pi er et rationelt tal?

Kan vi skabe en matematik, der tvinger visse ikke-reelle tal som Pi til at være endeligt?

Hvad ville konsekvenserne være, hvis Pi havde et endeligt antal cifre?

Hvis vi ikke kan beregne π nøjagtigt, hvordan kan vi så med sikkerhed hævde, at det kræver uendeligt mange decimaler at repræsentere?

Er det muligt at beregne alle cifrene i den decimale repræsentation af pi fuldt ud?

Hvorfor har vi endnu ikke fundet den nøjagtige værdi af π?

Hvor mange cifre ville PI have, hvis det sluttede?

Vil vi være i stand til at fuldende π?

Er pi et endeligt eller et uendeligt tal?

Spørgsmålet er i hundredvis af variationer blevet besvaret hundredvis af gange. π er et endeligt tal. Det er irrationelt. Det kan beregnes. Det er endeligt definerbart. Det har “et mønster”. Nogle af dets repræsentationer (de dårlige) kræver uendeligt mange tegn. Masser af andre repræsentationer (de meget bedre) kræver kun endeligt mange.

Cifrene i den decimale ekspansion af π er ligegyldige. Seriøst, lad nu være med at bekymre dig om dem. Mange, mange tal har uendeligt lange decimaludvidelser. Nogle er gentagende. De fleste er det ikke. Det er helt i orden. Det er ikke et problem. Det er ikke et problem, vi skal løse, det er ikke et problem, vi kan løse, og faktisk er det slet ikke et problem.

Decimalrepræsentationer er ofte den værst mulige måde at tænke på et tal på.

Dette spørgsmål blev oprindeligt vist på Quora – stedet for at få og dele viden, der gør det muligt for folk at lære af andre og bedre forstå verden. Du kan følge Quora på Twitter, Facebook og Google+. Flere spørgsmål:

• Irrationelle tal: Hvilke interessante kombinationer af irrationelle tal er kendt for at være rationelle?
• Pi: Hvor kritisk er det, at man endnu ikke har den nøjagtige værdi af PI?
• Matematik: Hvad er en cool matematisk kendsgerning, som du nemt kan fortælle en lægmand og samtidig se super cool ud?