Har 1+2+3… Really Equal -1/12?

En Numberphile-video, der blev offentliggjort tidligere på måneden, hævder, at summen af alle de positive hele tal er -1/12.

Jeg er normalt en fan af Numberphile-holdet, som gør et godt stykke arbejde med at gøre matematik spændende og tilgængelig, men denne video skuffede mig. Der er en meningsfuld måde at forbinde tallet -1/12 med serien 1+2+3+4+4…, men efter min mening er det misvisende at kalde det summen af serien. Desuden bidrager den måde, det er præsenteret på, til en misforståelse, som jeg ofte støder på som matematiklærer, nemlig at matematikere vilkårligt ændrer reglerne uden nogen åbenlys grund, og at eleverne ikke har noget håb om at vide, hvad der er tilladt og ikke tilladt i en given situation. I et indlæg om denne video siger fysiker Dr. Skyskull, at “en deprimerende stor del af befolkningen automatisk antager, at matematik er noget ikke-intuitivt, bizart troldmandsskab, som kun de superintelligente kan forstå. At vise et så vanvittigt resultat uden forbehold forstærker kun denne opfattelse og gør efter min mening matematikken en bjørnetjeneste.”

Addition er en binær operation. Man lægger to tal ind, og man får ét tal ud. Men man kan udvide den til flere tal. Hvis du f.eks. har tre tal, som du vil lægge sammen, kan du lægge to af dem sammen først og derefter lægge det tredje tal til den resulterende sum. Vi kan blive ved med at gøre dette for et vilkårligt endeligt antal addender (og aritmetikkens love siger, at vi får det samme svar, uanset hvilken rækkefølge vi lægger dem sammen i), men når vi forsøger at lægge et uendeligt antal termer sammen, må vi træffe et valg om, hvad addition betyder. Den mest almindelige måde at håndtere uendelig addition på er ved at bruge begrebet grænse.

Grovt sagt siger vi, at summen af en uendelig serie er et tal L, hvis vi, efterhånden som vi lægger flere og flere termer sammen, kommer tættere og tættere på tallet L. Hvis L er endeligt, kalder vi serien konvergent. Et eksempel på en konvergent serie er 1/2+1/4+1/8+1/16…. Denne serie konvergerer mod tallet 1. Det er ret nemt at se hvorfor: efter den første term er vi halvvejs til 1. Efter det andet term er vi halvdelen af den resterende afstand til 1 og så videre.

Zenos paradoks siger, at vi faktisk aldrig kommer til 1, men ud fra et grænseperspektiv kan vi komme så tæt på, som vi vil. Det er den definition af “sum”, som matematikere normalt mener, når de taler om uendelige serier, og den stemmer stort set overens med vores intuitive definition af ordene “sum” og “lige”.”

Men ikke alle serier er konvergerende i denne forstand (vi kalder ikke-konvergente serier divergerende). Nogle, som 1-1+1-1…, kan hoppe rundt mellem forskellige værdier, når vi bliver ved med at tilføje flere termer, og nogle, som 1+2+3+4…, kan blive vilkårligt store. Det er derfor ret klart, at summen 1+2+3…. ikke konvergerer, hvis man bruger grænsedefinitionen af konvergens for en serie. Hvis jeg sagde: “Jeg tror, at grænsen for denne serie er et eller andet endeligt tal L”, kunne jeg nemt regne ud, hvor mange termer jeg skulle tilføje for at komme så langt over tallet L, som jeg ønskede.

Der er meningsfulde måder at knytte tallet -1/12 til serien 1+2+3…, men jeg foretrækker ikke at kalde -1/12 for “summen” af de positive hele tal. En måde at tackle problemet på er med ideen om analytisk fortsættelse i kompleks analyse.

Lad os sige, at du har en funktion f(z), der er defineret et sted i det komplekse plan. Vi kalder det domæne, hvor funktionen er defineret U. Du kan måske finde ud af at konstruere en anden funktion F(z), der er defineret i et større område, således at f(z)=F(z), når z ligger i U. Så den nye funktion F(z) stemmer overens med den oprindelige funktion f(z) overalt, hvor f(z) er defineret, og den er defineret i nogle punkter uden for f(z)’s domæne. Funktionen F(z) kaldes den analytiske fortsættelse af f(z). (“Den” er den passende artikel at bruge, fordi den analytiske fortsættelse af en funktion er unik.)

Analytisk fortsættelse er nyttig, fordi komplekse funktioner ofte er defineret som uendelige serier, der involverer variablen z. De fleste uendelige serier konvergerer dog kun for nogle værdier af z, og det ville være rart, hvis vi kunne få funktioner til at være defineret flere steder. Den analytiske fortsættelse af en funktion kan definere værdier for en funktion uden for det område, hvor dens definition af den uendelige serie konvergerer. Vi kan sige, at 1+2+3…=-1/12 ved at eftermontere den analytiske fortsættelse af en funktion til dens oprindelige definition af den uendelige serie, et træk, der bør ledsages af et blink i Lucille Bluth-stil.

Den pågældende funktion er Riemanns zetafunktion, som er berømt for sine dybe forbindelser til spørgsmål om fordelingen af primtal. Når den reelle del af s er større end 1, er Riemann-zetafunktionen ζ(s) defineret som Σ∞n=1n-s. (Vi bruger normalt bogstavet z for variablen i en kompleks funktion. I dette tilfælde bruger vi s af hensyn til Riemann, som definerede zetafunktionen i en artikel fra 1859). Denne uendelige serie konvergerer ikke, når s=-1, men du kan se, at når vi indsætter s=-1, får vi 1+2+3…. Riemanns zetafunktion er den analytiske fortsættelse af denne funktion til hele det komplekse plan minus punktet s=1. Når s=-1, er ζ(s)=-1/12. Ved at sætte et lighedstegn mellem ζ(-1) og den formelle uendelige serie, der definerer funktionen i nogle andre dele af det komplekse plan, får vi udsagnet, at 1+2+3…=-1/12.

Analytisk fortsættelse er ikke den eneste måde at associere tallet -1/12 til serien 1+2+3…. For en rigtig god, dybdegående forklaring på en måde, der ikke kræver kompleks analyse – komplet med hjemmeopgaver – kan du se Terry Taos indlæg om emnet.

Numberphile-videoen generede mig, fordi de havde mulighed for at tale om, hvad det vil sige at tildele en værdi til en uendelig serie, og forklare forskellige måder at gøre dette på. Hvis du allerede ved en smule om emnet, kan du se videoen og en længere relateret video om emnet og fange bidder af, hvad der egentlig foregår. Men videoens “wow”-faktor kommer af det faktum, at det ikke giver mening, at en masse positive tal summerer op til et negativt tal, hvis publikum antager, at “sum” betyder det, de tror, det betyder.

Hvis Numberphiles var mere eksplicitte om alternative måder at knytte tal til serier på, kunne de have gjort mere end blot at få folk til at tro, at matematikere altid ændrer reglerne. I slutningen af videoen spørger producenten Brady Haran fysikeren Tony Padilla, om man ville få -1/12, hvis man blev ved med at lægge hele tal sammen i en uendelighed på sin lommeregner og trykkede på “lige” knappen til sidst. Padilla siger frækt: “Du er nødt til at gå til uendelighed, Brady!” Men svaret skulle have været “Nej!” Her synes jeg, at de har forpasset en mulighed for at præcisere, at de bruger en alternativ måde at tildele en værdi til en uendelig serie på, hvilket ville have gjort videoen meget mindre vildledende.

Andre folk har skrevet gode ting om matematikken i denne video. Efter et overdrevent godtroende Slate-blogindlæg om det, skrev Phil Plait en meget mere nøgtern forklaring på de forskellige måder at tildele en værdi til en serie på. Hvis du gerne vil arbejde dig igennem detaljerne i “beviset” på egen hånd, har John Baez dig dækket ind. Blake Stacey og Dr. Skyskull skriver om, hvordan det kan være nyttigt i fysik at erstatte tallet -1/12 med summen af de positive hele tal. Richard Elwes skriver en “sundheds- og sikkerhedsadvarsel” om uendelige serier, der involverer min gamle favorit, den harmoniske serie. Jeg synes, at udbredelsen af diskussionen om, hvad denne uendelige serie betyder, er god, selv om jeg ville ønske, at mere af denne diskussion kunne have været med i videoen, som indtil videre har mere end en million visninger på YouTube!