Gompertz-funktion

Gompertz-kurveRediger

Populationsbiologien beskæftiger sig især med Gompertz-funktionen. Denne funktion er især nyttig til at beskrive den hurtige vækst af en bestemt population af organismer, samtidig med at den også kan redegøre for den endelige horisontale asymptote, når bæreevnen er fastlagt (plateaucelle/populationsantal).

Den modelleres på følgende måde:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

hvor:

• t er tid
• N0 er den oprindelige mængde celler
• NI er plateaucelle-/populationsantallet
• b er den oprindelige tumorvæksthastighed

Denne funktion hensyntagen til plateaucelleantallet gør den nyttig til nøjagtigt at efterligne virkelighedens populationsdynamik. Funktionen overholder også den sigmoide funktion, som er den mest almindeligt accepterede konvention til generelt at beskrive en befolknings vækst. Desuden gør funktionen brug af den indledende væksthastighed, som almindeligvis ses i populationer af bakterie- og kræftceller, som gennemgår logfasen og vokser hurtigt i antal. På trods af sin popularitet er funktionen initial rate of tumor growth vanskeligt at forudbestemme på grund af de varierende mikrokosmos, der er til stede hos en patient, eller varierende miljøfaktorer i tilfælde af populationsbiologi. Hos kræftpatienter spiller faktorer som alder, kost, etnicitet, genetiske forudsætninger, stofskifte, livsstil og metastaseringens oprindelse en rolle ved bestemmelsen af tumorvæksthastigheden. Bæreevnen forventes også at ændre sig på baggrund af disse faktorer, og derfor er det vanskeligt at beskrive sådanne fænomener.

Metabolisk kurveRediger

Den metaboliske funktion er især optaget af at redegøre for stofskiftehastigheden i en organisme. Denne funktion kan anvendes til at overvåge tumorceller; stofskiftehastigheden er dynamisk og er meget fleksibel, hvilket gør den mere præcis til at beskrive kræftvækst i detaljer. Stofskiftekurven tager hensyn til den energi, som kroppen tilvejebringer for at vedligeholde og skabe væv. Denne energi kan betragtes som metabolisme og følger et bestemt mønster i celledeling. Energibevarelse kan anvendes til at modellere en sådan vækst, uanset forskellig masse og udviklingstid. Alle taxa deler et lignende vækstmønster, og denne model tager derfor hensyn til celledeling, som er grundlaget for udviklingen af en tumor.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{{\operatornavn {d} \!N_{C} \over \operatornavn {d} \!t}\right)}

• B = energi organismen bruger i hvile
• NC = antal celler i den givne organisme
• BC= stofskiftehastighed for en individuel celle
• NCBC= energi, der kræves for at opretholde den eksisterende væv
• EC= energi, der kræves for at skabe nyt væv fra en enkelt celle

Differentieringen mellem energi anvendt i hvile og stofskiftearbejde gør det muligt for modellen at bestemme væksthastigheden mere præcist. Energien i hvile er lavere end den energi, der bruges til at vedligeholde et væv, og tilsammen repræsenterer de den energi, der kræves for at vedligeholde det eksisterende væv. Brugen af disse to faktorer sammen med den energi, der er nødvendig for at skabe nyt væv, giver en omfattende kortlægning af væksthastigheden og fører desuden til en præcis repræsentation af forsinkelsesfasen.

Vækst af tumorerRediger

I 1960’erne brugte A.K. Laird for første gang med succes Gompertz-kurven til at tilpasse data for vækst af tumorer. Faktisk er tumorer cellepopulationer, der vokser i et begrænset rum, hvor der kun er begrænset adgang til næringsstoffer. Ved at betegne tumorstørrelsen som X(t) er det nyttigt at skrive Gompertz-kurven på følgende måde:

X ( t ) = K exp ( log ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ) {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)\right)}

hvor:

• X(0) er tumorstørrelsen på det indledende observationstidspunkt;
• K er bæreevnen, dvs.dvs. den maksimale størrelse, der kan nås med de tilgængelige næringsstoffer. I virkeligheden er det:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

uafhængigt af X(0)>0. Bemærk, at i fravær af terapier osv. er det normalt X(0)<K, mens det i tilstedeværelse af behandlinger kan være X(0)>K;

• α er en konstant, der er relateret til cellernes proliferative evne.
• log() henviser til den naturlige logaritme.

Det kan påvises, at dynamikken i X(t) er styret af Gompertz-differentialligningen:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}}\right)X(t)}

dvs. er af formen, når den nedbrydes:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , med F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}}\quad F^{{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) er den øjeblikkelige spredningshastighed for cellepopulationen, hvis aftagende karakter skyldes konkurrencen om næringsstofferne som følge af den voksende cellepopulation, i lighed med den logistiske vækstrate. Der er dog en grundlæggende forskel: i det logistiske tilfælde er spredningshastigheden for små cellepopulationer endelig:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}}\right)^{{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }

hvorimod spredningsraten i Gompertz-sagen er ubegrænset:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}{X}}}\right)=+\infty }

Som bemærket af Steel og Wheldon er cellepopulationens proliferationshastighed i sidste ende bundet af celledelingstiden. Dette kan således være et bevis på, at Gompertz-ligningen ikke er god til at modellere væksten af små tumorer. Desuden er det for nylig blevet bemærket, at Gompertz- og andre love, der er kendetegnet ved en ubegrænset F(0), ville udelukke muligheden for immunovervågning, hvis man inddrager interaktionen med immunsystemet.

Den teoretiske undersøgelse af Fornalski et al. viste det biofysiske grundlag for Gompertz-kurven for kræftvækst, undtagen i den meget tidlige fase, hvor en parabolisk funktion er mere hensigtsmæssig. De fandt også, at Gompertz-kurven beskriver det mest typiske tilfælde blandt den brede familie af kræftdynamikkens funktioner.

Gompertz-vækst og logistisk vækstRediger

Gompertz-differentialligningen

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ) X ( t ) {\displaystyle X^{{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}}\right)X(t)}

er det begrænsende tilfælde af den generaliserede logistiske differentialligning

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}

(hvor ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

er et positivt reelt tal), da

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Dertil kommer, er der et bøjningspunkt i grafen for den generaliserede logistiske funktion, når

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}

og en i grafen for Gompertz-funktionen, når

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}

.

Modellering af COVID-19-infektionsforløbRediger

Generaliseret logistisk funktion (Richards vækstkurve) i epidemiologisk modellering

En generaliseret logistisk funktion, også kaldet Richards vækstkurve, anvendes i vid udstrækning til modellering af COVID-19-infektionsforløb. Infektionstrajektor er en daglig tidsserie af data for det kumulative antal smittede tilfælde for et emne som f.eks. land, by, stat osv. Der findes forskellige varianter af omparameteriseringer i litteraturen: en af de hyppigt anvendte former er

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\\frac {\theta _{1}}}{^{1/\xi }}}}

hvor θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{2},\theta _{3}}

er reelle tal, og ξ {\displaystyle \xi }

er et positivt reelt tal. Fleksibiliteten af kurven f {\displaystyle f}

skyldes parameteren ξ {\displaystyle \xi }

: (i) hvis ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

, så reduceres kurven til den logistiske funktion, og (ii) hvis ξ {\\displaystyle \xi }

konvergerer mod nul, så konvergerer kurven til Gompertz-funktionen. I epidemiologisk modellering er θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}

, og θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}

repræsenterer henholdsvis den endelige epidemistørrelse, infektionshastigheden og forsinkelsesfasen. Se det højre panel for en eksemplarisk infektionsbane, når ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{2},\theta _{3})}

betegnes med ( 10 , 000 , 0,2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0,2,40)}

.

Ekstrapolerede infektionsforløb for 40 lande, der er hårdt ramt af COVID-19, og det store (befolknings)gennemsnit frem til den 14. maj

En af fordelene ved at anvende vækstfunktion som f.eks. generaliseret logistisk funktion i epidemiologisk modellering er dens relativt nemme udvidelse til en flerniveaumodelramme ved at anvende vækstfunktionen til at beskrive infektionsforløb fra flere emner (lande, byer, stater osv.). Se ovenstående figur. En sådan modelramme kan også i vid udstrækning kaldes den ikke-lineære mixed-effects-model eller hierarkisk ikke-lineær model.

Gomp-ex-loven om vækstRediger

Baseret på ovenstående overvejelser foreslog Wheldon en matematisk model for tumorvækst, kaldet Gomp-Ex-modellen, som modificerer Gompertz-loven en smule. I Gomp-Ex-modellen antages det, at der i begyndelsen ikke er nogen konkurrence om ressourcerne, således at cellepopulationen udvider sig efter den eksponentielle lov. Der er dog en kritisk størrelsestærskel X C {\displaystyle X_{C}}

, således at der for X > X C {\displaystyle X>X_{C}}

. Antagelsen om, at der ikke er nogen konkurrence om ressourcerne, gælder i de fleste scenarier. Den kan dog påvirkes af begrænsende faktorer, hvilket kræver, at der oprettes variabler for underfaktorer.

væksten følger Gompertz-loven:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ) {\displaystyle F(X ) =\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}}\right)\right)}

således at:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}

Her er der nogle numeriske estimater for X C {\displaystyle X_{C}}