Argand Plane og Polar Repræsentation

Tidligere sagde vi, at de komplekse tal er tal, der ikke kan falde på tallinjen! Vi så også, at ethvert reelt tal også er et komplekst tal med imaginærdelen = 0. Hvordan kan vi repræsentere disse tal grafisk? Hvad er argumentet for et komplekst tal? Lad os svare i dette afsnit.

Suggested Videos For You

Argandplanet

I de tidligere klasser har I læst om tallinjen. Det er en praktisk måde at repræsentere reelle tal som punkter på en linje på. På samme måde har du læst om det kartesiske koordinatsystem. Det er et sæt af tre indbyrdes vinkelrette akser og en praktisk måde at repræsentere et sæt tal (to eller tre) eller et punkt i rummet.

Lad os begynde med tallinjen. Forestil dig, at du er en slags matematikgud, og at du netop har skabt de reelle tal. Det skete tilfældigvis, at du tegnede en anden linje vinkelret på den reelle akse. Hvad vil denne linje være? Den er helt sikkert ikke reel. Derfor må den være imaginær eller den komplekse linje.

Dermed har vi en måde at repræsentere ethvert imaginært tal grafisk på. Det eneste, vi skal gøre, er at finde dets reelle del og en imaginær del. For det andet skal vi repræsentere dem på de to indbyrdes vinkelrette tallinjer. Skæringspunktet, som vist ovenfor, er oprindelsen af vores plan.

Det således dannede plan er kendt som Argand-planen og er en praktisk måde at repræsentere ethvert imaginært tal grafisk på. Lad z = x + iy. Så er Re(z) = x og Im(z) = y.

• Grundlæggende regler for komplekse tal
• Operationer på komplekse tal
• Modul og konjugat af et komplekst tal
• Komplekse kvadratiske ligninger

Det ordnede par (x,y) repræsenteret på Argand-planen vil repræsentere et punkt. Dette punkt svarer til vores komplekse tal z. Vi tegner en rettet linje fra O til punktet P(x,y), som repræsenterer z. Lad θ være den vinkel, som denne linje danner med den positive retning af den “reelle akse”. Derfor er (90 – θ) den vinkel, som den danner med den “imaginære akse”. Dette er noget vigtigt, så hold det ved hånden!

Argument for z

Som allerede fastslået kan ethvert komplekst tal repræsenteres et eller andet sted på Argand-planet. Dette følger af den kendsgerning, at under operationen af vores algebra er komplekse tal lukkede. Forestil dig, at du repræsenterer to tal, z1 = 2 +3i og z2 = 2 – 3i. Vi kan se, at |z1| = |z2|. Ups! Hvad har vi gjort? Hvis du plotter de to punkter (2, 3) og (2, -3), vil du se, at de er symmetriske over og under de reelle akser. Vi kalder dem for hinandens spejlbilleder.

Hvordan kan vi se forskellen mellem dem? Vi indfører en anden størrelse kaldet argumentet for z1 og z2. Det er defineret som den vinkel “θ”, som den linje, der forbinder punktet P (der repræsenterer vores komplekse tal) og oprindelsen O, danner med den positive retning af de “reelle akser”. Dette giver hvert komplekst tal en unik følelse af en retning eller orientering på Argandplanet. Derfor kan vi entydigt repræsentere hvert punkt på Argandplanet.

Modulet for et komplekst tal

I et tidligere afsnit definerede vi modulet for et imaginært tal z = a + ib som |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Her skal vi se, at denne definition passer perfekt til den geometriske repræsentation af de komplekse tal.

I ovenstående figur antager vi, at pilespidsen er P (a, b), hvor P repræsenterer tallet z = a + ib. Så kan længden af OP findes ud ved hjælp af afstandsformlen som = = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2} \)

Dermed kan vi sige, at OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Modulet er altså længden af det linjestykke, der forbinder det punkt, der svarer til vores komplekse tal, med Argandplanets oprindelse. Som du kan se, er den altid positiv, og derfor kalder vi den modulus. Det hele falder på plads nu, ikke sandt?

Du kan downloade Spilleark til komplekse tal ved at klikke på download-knappen nedenfor

Polær repræsentation

Vi har forskellige typer koordinatsystemer. Et af dem er det polære koordinatsystem. Det er blot et sæt af indbyrdes vinkelrette linjer. Oprindelsen kaldes polen. Vi måler ethvert punkts position ved at måle længden af den linje, der forbinder det med oprindelsen, og den vinkel, som linjen danner med en bestemt akse. Hvis vi f.eks. kender værdien af φ og r, kan vi lokalisere P. Det er polarkoordinaterne, r og φ.

Sådan kan vi lokalisere det nævnte tal, hvis vi kender argumentet for et komplekst tal i Argandplanet og længden OP. Lad r = OP. Vi ved også, at OP = |z| = r ; hvor z = x + iy

Koordinaterne for P er (x, y). I den retvinklede trekant ser vi, at x = r cos(θ) og y = r sin(θ). Så vi kan skrive, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Dette, mine kære venner, er den polære repræsentation af vores komplekse tal z = x + iy med:

Arg(z) = θ og |z| = r

Nu er y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Derfor er θ = tan-1(y/x)

Ved hjælp af denne relation kan vi finde argumentet for et komplekst tal.

Løste eksempler til dig

Spørgsmål 1: Hvis z = -2(1+2i)/(3 + i) hvor i= \( \sqrt{-1} \), så er argumentet θ(-π < θ ≤ π) for z:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Svar : D) Da z = -2(1+2i)/(3 + i)

Ved multiplikation og division med (3 – i) får vi

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Sammenligner vi dette med z = x + iy, har vi x = -1 og y = -1

Deraf er θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

Hvorfor ikke \( \frac{π}{4} \) ? Jo, fordi både x og y er negative. Det betyder, at punktet P nu befinder sig i den tredje kvadrant. Derfor er θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Spørgsmål 2: Hvad er den grundlæggende struktur i et argument?

Svar: Argument består af mindst én præmis, der ikke fører til en konklusion. Desuden består det af mindst én præmis og én fejlslutning, som vi bruger til at understøtte en konklusion. Desuden består et argument af præmisser, som bruges til at understøtte en konklusion.

Spørgsmål 3: Hvad er argumentlisten?

Svar: Argument henviser til en liste, som vi udtrykkeri den kommaseparerede liste, der er afgrænset af parenteserne i et udtryk for et funktionsopkald, eller det er en sekvens af behandlingstokens i den kommaseparerede liste, der er omsluttet af interpolationerne i et funktionslignende makroopkald.

Spørgsmål 4: Hvad er forskellen mellem hovedargument og argument?

Svar: Den værdi, der ligger mellem -pi og pi, kaldes hovedargumentet for et komplekst tal. Desuden er værdien sådan, at -π < θ = π. Desuden er θ en periodisk funktion med en periode på 2π, så vi kan repræsentere dette argument som (2nπ + θ), hvor n er et helt tal, og dette er et generelt argument.

Spørgsmål 5: Hvad er argumentet for et reelt tal?

Svar: Svar: Det er den vinkel, som vektoren og det komplekse tal danner med den positive reelle akse. Også når det reelle tal er positivt, så er svaret dit vinkelmål.