4.3: Kompressibilitet og ekspansivitet

Afledning af et udtryk for en partiel afledning (type I): Den reciprokke regel

Tænk på et system, der er beskrevet af tre variabler, og for hvilket man kan skrive en matematisk begrænsning på variablerne

\

Under disse omstændigheder kan man angive systemets tilstand ved kun at variere to parametre uafhængigt af hinanden, fordi den tredje parameter vil have en fast værdi. Som sådan kunne man definere to funktioner: \(z(x, y)\) og \(y(x,z)\).

Derved kan man skrive de samlede differentialer for \(dz\) og \(dy\) som følger

\

og

Substituerer man udtrykket i ligning \ref{eq6} i ligning \ref{eq5}:

\ \\ \\ &= \left( \dfrac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y} \right y}{\partial x} \right)_z dx + \left( \dfrac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \dfrac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz \label{eq7} \end{align}\]

Hvis systemet gennemgår en ændring, der følger et forløb, hvor \(x\) holdes konstant (\(dx = 0\)), forenkles dette udtryk til

\

Og således for ændringer, for hvilke \(dz \neq 0\),

\

Denne reciprokke regel er meget praktisk ved håndtering af partielle afledninger. Men den kan også udledes på en ligefrem, om end mindre stringent, måde. Begynd med at skrive den samlede differentialregning for \(z(x,y)\) (Ligning \ref{eq5}):

\

Divider nu begge sider med \(dz\) og begræns til konstant \(x\).

\

Og

og

Sammenligning \ref{eq10} bliver

eller

Denne “formelle” metode til manipulation af partielle afledninger er praktisk og nyttig, selv om den ikke er matematisk stringent. Den fungerer imidlertid for den type partielle afledninger, som man støder på i termodynamikken, fordi variablerne er tilstandsvariabler, og differentialerne er nøjagtige.