Pí: Nejdůležitější číslo ve vesmíru?

Od Edwarda B. Burgera, Ph.D., Southwestern University

Jedním z nejdůležitějších čísel v našem vesmíru je číslo pí neboli π. Prozkoumejte odyseu lidstva – pokusy v průběhu věků, které skutečně přesahují hranice kultur – spočítat, přiblížit a pochopit toto záhadné číslo.

Definice

Přestože původ čísla π není s jistotou znám, víme, že Babyloňané aproximovali π v základu 60 kolem roku 1800 př. n. l. Definice π se soustředí kolem kruhů. Je to poměr obvodu kruhu k jeho průměru – číslo jen o málo větší než tři.

Konstanta π nám pomáhá jasněji pochopit náš vesmír. Definice π inspirovala nový pojem měření úhlů, novou měrnou jednotku. Tato důležitá míra úhlu je známá jako „radiánová míra“ a dala vzniknout mnoha důležitým poznatkům v našem fyzikálním světě. Pokud jde o samotné číslo π, Johann Lambert v roce 1761 ukázal, že π je iracionální číslo, a později, v roce 1882, Ferdinand von Lindemann dokázal, že π není řešením žádné polynomické rovnice s celými čísly. Mnoho otázek o π však zůstává nezodpovězeno.

Zjistěte více: Obvod kruhu je o něco více než třikrát delší než jeho průměr.[1375>

Experimenty s pí

Každá diskuse o původu čísla pí musí začít experimentem s kruhy, který si můžeme všichni vyzkoušet. Vezměte libovolný kruh vůbec a vezměte délku obvodu – což je délka kolem – a změřte ji z hlediska průměru, což je délka napříč. Nakonec vám vyjdou tři průměry a ještě něco navíc, a když se podíváte pozorně, je to o něco více než 1/10 cesty navíc. Tento pokus nám ukazuje, že tento poměr obvodu k průměru bude číslo, které se bude pohybovat kolem hodnoty 3,1 nebo bude o něco větší než tato hodnota. Bez ohledu na velikost kruhu je jeho obvod o něco větší než trojnásobek jeho průměru.

Toto je přepis z videoseriálu Od nuly do nekonečna. Podívejte se na něj nyní na stránkách The Great Courses.

Tato pevná, konstantní hodnota dostala jméno a říkáme jí π. Jak ji řekneme přesněji? Číslo π je definováno tak, že se rovná poměru obvodu libovolného kruhu k jeho průměru napříč. Tento poměr je konstantní. Nezáleží na tom, s jakou velikostí kruhu to zkusíme, toto číslo bude vždy stejné. Začíná 3,141592653589 a pokračuje dál.

Symbol π pochází z řeckého písmene π, protože řecké slovo pro „obvod“ začíná řeckým písmenem π. Obvod kruhu byl předchůdcem obvodu kruhu, kterému dnes říkáme obvod. Symbol π se poprvé objevuje v textu Williama Jonese A New Introduction to Mathematics (Nový úvod do matematiky) z roku 1709 a později jej zpopularizoval velký švýcarský matematik 18. století Leonhard Euler kolem roku 1737.

Další informace: Ve skutečnosti věřili, že π = 25/8 neboli 3,125 – což je na tak ranou dobu lidské historie úžasná aproximace. Staroegyptský písař Ahmes, který je spojován se slavným Rhindovým papyrem, nabídl aproximaci 256/81, což je 3,16049. Opět vidíme působivou aproximaci této konstanty. V Bibli je dokonce implicitně uvedena hodnota π. V 1. Královské 7,23 se uvádí, že kulatá mísa má obvod 30 kubíků a průměr 10 kubíků. V Bibli se tedy implicitně uvádí, že π se rovná 3 (30/10).

Není divu, že s tím, jak se vyvíjelo chápání čísel lidstvem, rostla i jeho schopnost lépe pochopit, a tedy i odhadnout samotné číslo π. V roce 263 se čínský matematik Liu Hui domníval, že π = 3,141014.

Přibližně o 200 let později indický matematik a astronom Árjabhata aproximoval π zlomkem 62 832/20 000, což je 3,1416 – skutečně úžasný odhad. Kolem roku 1400 perský astronom Kashani vypočítal π správně na 16 číslic.

Jak měřit úhly pomocí čísla pí

Odpojme se od této historické honby za číslicemi π a uvažujme o π jako o důležitém čísle v našem vesmíru. Vzhledem k tomu, že π souvisí s měřením obvodů kružnic, inspirovalo učence k jeho použití jako míry úhlové vzdálenosti. Uvažujme kruh o poloměru 1. Poloměr je právě míra od středu ven do strany. Je to polovina průměru.

Tradičními jednotkami pro měření úhlů jsou samozřejmě stupně. Pomocí stupňů má jedno úplné otočení kolem kruhu míru 360 stupňů, což se shodou okolností přibližně rovná počtu dní v jednom úplném roce a což by mohlo vysvětlovat, proč si myslíme, že jednou kolem znamená 360.

Místo libovolné míry 360, která znamená jednou kolem kruhu, zjistěme skutečnou délku cesty kolem tohoto konkrétního kruhu, kruhu o poloměru 1, jednou kolem. Jaká je jeho délka a obvod? Máme-li poloměr 1, pak náš průměr je dvojnásobný, tedy 2, a tak víme, že jednou kolem dokola bude 2 krát π, protože obvod je π krát průměr.

Jednou kolem dokola bude 2π. Jedno úplné otočení kolem dokola, což je úhel 360 stupňů, by v tomto konkrétním kruhu bylo vymeteno s obvodem o délce 2π. Polovina oběhu by byla 180 stupňů a vymetli bychom polovinu obvodu, což by v tomto případě bylo π. Devadesát stupňů by vymetlo čtvrtinu kruhu a pro tento konkrétní kruh by to byla délka π/2, tedy polovina π.

Začínáme vidět, že každému úhlu odpovídá vzdálenost měřená po části nebo po celém obvodu tohoto konkrétního kruhu o poloměru 1.

Začínáme vidět, že každému úhlu odpovídá vzdálenost měřená po celé délce kruhu. Jinými slovy, pro každý úhel můžeme změřit délku oblouku této kružnice vymeteného tímto úhlem.

Tato délka oblouku poskytuje nový způsob reprezentace míry úhlu a tuto míru úhlů nazýváme „radiánová míra“. Například 360 stupňů = 2π radiánů, to jsou jednotky; 180 stupňů se rovná π radiánů a 90 stupňů by se rovnalo π/2 radiánů. Nezapomeňte, že všechny tyto míry vždy vycházejí ze speciální kružnice, která má poloměr 1.

Zjistěte více o geometrii a transformační taktice

Radiánová míra a mocnina pí

Ukazuje se, že tato radiánová míra je při měření úhlů pro matematiku a fyziku mnohem užitečnější než známější míra stupňová. Tato skutečnost není překvapivá. Radiánová míra je přirozeně spojena prostřednictvím délky obvodu s úhlem, spíše než libovolnější stupňová míra, která nemá žádné matematické základy. Představuje aproximaci přes celý rok.

Termín radián se poprvé objevil v tisku v 70. letech 19. století, ale v té době již velcí matematici, včetně velkého matematika Leonharda Eulera, používali úhly měřené v radiánech více než sto let.

Číslo π se objevuje v bezpočtu důležitých vzorců a teorií, včetně Heisenbergova principu neurčitosti a Einsteinovy rovnice pole z obecné teorie relativity. Je to důležitý vzorec a číslo na celém světě.

Časté otázky o čísle pí

Tento článek byl aktualizován 28. dubna 2020

.