Ortonormální vektory

Co je to ortonormální vektor?

Říká se, že vektor je normální, pokud má délku rovnou jedné. O dvou vektorech se říká, že jsou ortogonální, jestliže k sobě svírají pravý úhel (jejich tečkový součin je roven nule). O množině vektorů se říká, že je ortonormální, jestliže jsou všechny normální a každá dvojice vektorů v množině je ortogonální.

Ortonormální vektory se obvykle používají jako báze vektorového prostoru. Stanovení ortonormální báze pro data výrazně usnadňuje výpočty; například délka vektoru je jednoduše odmocnina ze součtu čtverců souřadnic tohoto vektoru vzhledem k nějaké ortonormální bázi.

QR rozklad

QR rozklad reálné čtvercové matice A je proces nalezení dvou matic Q a R takových, že:

• A = QR

• Q je ortogonální matice

• R je horní trojúhelníková matice

(pokud je A komplexní čtvercová matice nebo je obdélníková matice, pak Q bude unitární matice.)

Existuje řada metod pro výpočet QR rozkladu matice, včetně Gram-Schmidtova postupu, Householderových transformací nebo Givensových rotací. Každá z těchto metod má své klady a zápory, proto by implementátoři měli každý z těchto algoritmů pro daný problém pečlivě prostudovat.

QR rozklad se často používá při řešení lineární úlohy nejmenších čtverců. Je také základem algoritmu pro hledání vlastních vektorů, příznačně nazvaného QR algoritmus (i když je ironií, že moderní podoba algoritmu ve skutečnosti nezahrnuje výpočet QR rozkladu!)

.