MathBootCamps

Lineární rovnice s jednou proměnnou jsou rovnice, kde proměnná má exponent 1, který se obvykle nezobrazuje (rozumí se). Příkladem může být něco jako \(12x = x – 5\). Řešení lineárních rovnic má jeden hlavní cíl: izolovat proměnnou. V této lekci se na několika příkladech podíváme, jak se to dělá.

Tabulka obsahu

1. Příklady řešení jednokrokových rovnic
2. Příklady řešení dvoukrokových rovnickrokových rovnic
3. Příklady rovnic, kde je třeba nejprve zjednodušit
4. Neomezeně mnoho nebo žádné řešení
5. Souhrn

Příklady řešení jednokrokových lineárních rovnic

Po vší té dřině s řešením rovnice, víte, že chcete získat konečnou odpověď jako \(x=5\) nebo \(y=1\). V obou těchto případech je proměnná izolovaná neboli sama o sobě.

Potřebujeme tedy zjistit, jak proměnnou izolovat. Jak to uděláme, závisí na samotné rovnici! Pokud byla něčím vynásobena, budeme ji dělit. Pokud k ní bylo něco přičteno, budeme odečítat. Tím pomalu získáme proměnnou samu o sobě.

Na příkladu si ukážeme, jak to funguje.

Příklad

Rozřešte rovnici:

Řešení

V tomto příkladu je 4 násobkem \(x\). Chcete-li tedy \(x\) izolovat, musíte tuto stranu vydělit číslem 4. Při tom si musíte zapamatovat jedno důležité pravidlo: cokoli uděláte s jednou stranou rovnice, musíte udělat i s druhou stranou. Obě strany tedy vydělíme 4.

\(\begin{align}4x &= 8 \\ \dfrac{4x}{\color{red}{4}}. &= \dfrac{8}{\color{red}{4}}\end{align}\)

Zjednodušení:

\(x = \boxed{2}\)

To je vše, jeden krok a máme hotovo. (Proto se takovým rovnicím často říká „jednokrokové“.)

Kontrola

Kdykoli řešíte lineární rovnice, vždy si můžete odpověď zkontrolovat dosazením zpět do rovnice. Pokud dostanete pravdivý výrok, pak je odpověď správná. Není to stoprocentně nutné u každé úlohy, ale je to dobrý zvyk, takže to budeme dělat u našich rovnic.

V tomto příkladu byla naše původní rovnice \(4x = 8\). Chcete-li si to ověřit, ověřte si, že platí následující:

\(\begin{align}4x &= 8\\ 4(2) &= 8 \\ 8 &= 8\end{align}\)

Toto je pravdivé tvrzení, takže naše odpověď je správná.

U každé rovnice platí, že jakoukoli operaci provedeme s jednou stranou, musíme ji provést i s druhou stranou

Než přejdeme ke složitějším rovnicím, vyzkoušíme si ještě několik příkladů.

Příklad

Řešení: \(3x=12\)

Řešení

Protože \(x\) je násobeno 3, plán je dělit 3 na obou stranách:

\(\begin{align}3x &=12\\ \dfrac{3x}{\color{red}{3}}. &=\dfrac{12}{\color{red}{3}}\ x&= \boxed{4}\end{align}\)

Kontrola

Pro kontrolu odpovědi necháme \(x = 4\) a dosadíme zpět do rovnice:

\(\begin{align}3x &= 12\\3(4) &= 12 \\ 12 &= 12\end{align}\)

Jako předtím, protože je to pravdivé tvrzení, víme, že naše odpověď je správná.

V dalším příkladu se místo násobení proměnné hodnotou od proměnné odečítá hodnota. Abychom to „vrátili zpět“, přičteme tuto hodnotu k oběma stranám.

Příklad

Řešení: \(y-9=21\)

Řešení

Tentokrát se od y odečítá 9. Proto to zrušíme přičtením 9 k oběma stranám.

(\begin{align}y-9&=21\\ y-9 \color{red}{+9}&=21\color{red}{+9}\y&=30\end{align}\)

Dále se podíváme na rovnice, kterým se běžně říká „dvoukrokové“. V těchto rovnicích budeme muset zrušit dvě operace, abychom izolovali proměnnou.

Příklady dvoukrokových rovnic

V každém z výše uvedených příkladů jsme museli provést jeden krok, než jsme dostali odpověď. V následujících příkladech uvidíte, jak pracovat s rovnicemi, které mají místo toho dva kroky. Pokud se jedná o více než jednu operaci, je důležité si zapamatovat pořadí operací, PEMDAS. Protože rušíte operace na \(x\), budete pracovat „zvenčí dovnitř“. Snadněji to pochopíte, když to uvidíte na příkladu.

Příklad

Řešit: Všimněte si, že s \(2x-7=13\)

Řešení

S \(x\) se dějí dvě operace: násobí se 2 a pak se odečítá 7. Tyto operace budeme muset zrušit. Ale pouze \(x\) je násobeno 2, takže prvním krokem bude přičtení 7 k oběma stranám. Pak můžeme obě strany vydělit 2.

Přičtení 7 k oběma stranám:

\(\begin{align} 2x-7 &= 13\\ 2x-7 \color{red}{+7} & =13 \color{red}{+7}\\ 2x&=20\end{align}\)

Nyní obě strany vydělte 2:

\(\begin{align} 2x &=20 \\ \dfrac{2x}{\color{red}{2}}&=\dfrac{20}{\color{red}{2}}\\ x&= \boxed{10}\end{align}\)

Kontroluj

Jako u jednodušších úloh, můžete svou odpověď zkontrolovat dosazením hodnoty \(x\) zpět do původní rovnice.

\(\začátek{zarovnání}2x-7&=13\\ 2(10) – 7 &= 13\\ 13 &= 13\konec{zarovnání}\)

Toto je pravda, takže máme správnou odpověď.

Podívejme se ještě na jeden dvoukrokový příklad, než si opět zvedneme obtížnost. Ujistěte se, že rozumíte každému z uvedených kroků a že jste úlohu také zpracovali.

Příklad

Řešte: \(5w + 2 = 9\)

Řešení

Stejně jako výše jsou zde dvě operace: \(w\) se násobí 5 a pak se k němu přičte 2. Zrušíme je tak, že nejprve od obou stran odečteme 2 a pak vydělíme 5.

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5w + 2 \color{red}{-2} &= 9 \color{red}{-2}\ 5w &= 7\\ \dfrac{5w}{\color{red}{5}}. &=\dfrac{7}{\color{red}{5}}\w=\boxed{\dfrac{7}{5}}\end{align}\)

Zlomek vpravo nelze zjednodušit, takže to je naše konečná odpověď.

Kontrola

Nechť \(w = \dfrac{7}{5}\). Pak:

\(\begin{align}5w + 2 &= 9\\ 5\\left(\dfrac{7}{5}\right) + 2 &= 9\\ 7 + 2 &= 9\\ 9 &= 9 \end{align}\)

Takže máme opět správnou odpověď!

Zjednodušení před řešením

V následujících příkladech je více proměnných členů a případně je třeba provést nějaké zjednodušení. V každém případě bude postupovat tak, že nejprve zjednodušíme obě strany a pak použijeme to, co jsme dělali, k izolaci proměnné. Nejprve se podrobně podíváme na příklad, abychom viděli, jak to celé funguje.

Pro pochopení této části byste měli umět kombinovat podobné výrazy.

Příklad

Řešit: \(3x+2=4x-1\)

Řešení

Protože jsou obě strany rovnice zjednodušené (nemusíme řešit závorky a kombinovat podobné členy), dalším krokem je získání všech x na jedné straně rovnice a všech čísel na straně druhé. Platí stejné pravidlo – cokoliv uděláte s jednou stranou rovnice, musíte udělat i s druhou stranou!

Je možné přesunout buď \(3x\), nebo \(4x\). Předpokládejme, že jste přesunuli \(4x\). Protože je kladné, udělali byste to tak, že byste ho odečetli od obou stran:

\(\begin{align}3x+2 &=4x-1\\ 3x+2\color{red}{-4x} &=4x-1\color{red}{-4x}\\ -x+2 & =-1\end{align}\)

Teď rovnice vypadá jako ty, se kterými jsme pracovali dříve. Dalším krokem je odečíst 2 od obou stran:

\(\begin{align}-x+2\color{red}{-2} &= -1\color{red}{-2}\\-x=-3\end{align}\)

Nakonec, protože \(-x= -1x\) (to platí vždy), vydělíme obě strany \(-1\):

\(\begin{align}\dfrac{-x}{\color{red}{-1}} &=\dfrac{-3}{\color{red}{-1}}\\ x&=3\end{align}\)

Kontrola

Měli byste se na chvíli přesvědčit, že následující tvrzení je pravdivé:

\(3(3)+ 2 = 4(3) – 1\)

V dalším příkladu budeme muset před řešením použít distributivní vlastnost. Zde je snadné udělat chybu, proto dbejte na to, abyste číslo před závorkami rozdělili na všechny členy uvnitř.

Příklad

Řešte: \(3(x+2)-1=x-3(x+1)\)

Řešení

Nejprve rozdělte čísla 3 a -3 a shromážděte podobné členy.

\(\začátek{zarovnání}) 3(x+2)-1 &=x-3(x+1)\\ 3x+6-1&=x-3x-3 \\ 3x+5&=-2x-3\konec{srovnání}\)

Nyní můžeme k oběma stranám přičíst 2x. (Nezapomeňte, že stejnou odpověď byste dostali, kdybyste místo toho od obou stran odečetli 3x)

(\begin{align}\). 3x+5\color{red}{+2x} &=-2x-3\color{red}{+2x}\\ 5x+5& =-3\end{align}\)

Odtud můžeme řešit stejně jako ostatní dvoustupňové rovnice.

\(\begin{align}5x+5\color{red}{-5}) &=-3\color{red}{-5}\\ 5x &=-8\\\ \dfrac{5x}{\color{red}{5}}&=\dfrac{-8}{\color{red}{5}}\\ x &=\dfrac{-8}{5}\ \\ &=\boxed{-\dfrac{8}{5}}\end{align}\)

Kontrola

Tohle bylo těžké, takže si nezapomeňte zkontrolovat odpověď a ujistit se, že jste neudělali chybu. K tomu se ujistíte, že následující tvrzení je pravdivé:

\(3\left(-\dfrac{8}{5}+2\right)-1=\left(-\dfrac{8}{5}\right)-3\left(-\dfrac{8}{5}+1\right)\)

(Poznámka: funguje to – ale musíte si dát opravdu pozor na závorky!)

Konečně mnoho řešení a žádné řešení

Někdy se stane, že provedete všechny tyto kroky a vznikne opravdu podivné řešení. Například při řešení rovnice \(x+2=x+2\) pomocí výše uvedených kroků skončíme u \(0=0\). To je jistě pravda, ale k čemu je to dobré?“

Pokud dostanete takovýto výrok, znamená to, že rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jakékoliv \(x\), které by vás napadlo, by splňovalo rovnici \(x+2=x+2\). Vhodná odpověď v tomto případě je „nekonečně mnoho řešení“.

Druhá situace nastane, když rovnici zjednodušíte na výrok, který nikdy není pravdivý, například \(3=4\) nebo \(0=1\). To se stane v případě rovnice \(x+5=x-7\), která povede k \(5= -7\), což rozhodně nikdy není pravda. To znamená, že žádné \(x\) by této rovnici nevyhovovalo. Jinými slovy „žádné řešení“. Shrnuto:

• Pokud dostaneme tvrzení, které je vždy pravdivé, jako \(5 = 5\) nebo \(0 = 0\), pak existuje nekonečně mnoho řešení.
• Pokud dostaneme tvrzení, které je vždy nepravdivé, jako \(10 = 11\) nebo \(1 = 5\), pak neexistuje žádné řešení.

Souhrn

Řešení lineárních rovnic spočívá v izolaci proměnné. V závislosti na rovnici to může trvat jen jeden krok nebo mnohem více kroků. Vždy si nejprve ověřte, zda je třeba zjednodušit jednu nebo obě strany rovnice, a vždy si odpověď zkontrolujte.

Přihlaste se k odběru novinek!

Vždy zveřejňujeme nové lekce zdarma a přidáváme další studijní příručky, návody na kalkulačky a balíčky úloh.

Přihlaste se k odběru příležitostných e-mailů (jednou za dva až tři týdny), které vás budou informovat o novinkách!