Je 1+2+3…

Video Numberphile zveřejněné na začátku tohoto měsíce tvrdí, že součet všech kladných celých čísel je -1/12.

Obvykle jsem fanouškem týmu Numberphile, který odvádí skvělou práci a zpřístupňuje matematiku, ale toto video mě zklamalo. Existuje smysluplný způsob, jak přiřadit číslo -1/12 k řadě 1+2+3+4…, ale podle mého názoru je zavádějící nazývat ho součtem řady. Navíc způsob prezentace přispívá k mylné představě, se kterou se jako učitel matematiky často setkávám, že matematici svévolně mění pravidla bez zjevného důvodu a studenti nemají šanci poznat, co je a není v dané situaci dovoleno. Fyzik Dr. Skyskull v příspěvku k tomuto videu říká: „Depresivně velká část populace automaticky předpokládá, že matematika je nějaké neintuitivní, bizarní kouzlo, kterému mohou rozumět jen superinteligentní lidé. Ukázání takového šíleného výsledku bez upřesnění tento názor jen posiluje a podle mého názoru dělá matematice medvědí službu.“

Sčítání je binární operace. Vložíte dvě čísla a dostanete jedno číslo. Můžete ji však rozšířit na více čísel. Máte-li například tři čísla, která chcete sečíst, můžete nejprve sečíst libovolná dvě z nich a pak k výslednému součtu přičíst třetí. Takto můžeme postupovat pro libovolný konečný počet sčítanců (a zákony aritmetiky říkají, že dostaneme stejnou odpověď bez ohledu na to, v jakém pořadí je sečteme), ale když se pokusíme sečíst nekonečný počet členů, musíme se rozhodnout, co sčítání znamená. Nejběžnějším způsobem, jak se vypořádat s nekonečným sčítáním, je použití pojmu limita.

Zhruba řečeno, říkáme, že součet nekonečné řady je číslo L, jestliže se při sčítání dalších a dalších členů stále více přibližujeme k číslu L. Je-li L konečné, nazýváme řadu konvergentní. Příkladem konvergentní řady je 1/2+1/4+1/8+1/16….. Tato řada konverguje k číslu 1. Je celkem snadné pochopit proč: po prvním členu jsme v polovině cesty k 1. Po druhém členu jsme v polovině zbývající vzdálenosti k 1 a tak dále.

Zenův paradox říká, že k 1 se ve skutečnosti nikdy nedostaneme, ale z hlediska limitu se k ní můžeme přiblížit, jak chceme. To je definice „součtu“, kterou mají matematici obvykle na mysli, když mluví o nekonečných řadách, a v podstatě se shoduje s naší intuitivní definicí slov „součet“ a „rovný“.

Ale ne každá řada je v tomto smyslu konvergentní (nekonvergentní řady nazýváme divergentní). Některé, jako například 1-1+1-1…, mohou skákat mezi různými hodnotami, když budeme přidávat další členy, a některé, jako například 1+2+3+4…, mohou nabývat libovolně velkých hodnot. Je tedy celkem jasné, že podle limitní definice konvergence řady součet 1+2+3… nekonverguje. Kdybych řekl: „Myslím si, že limita této řady je nějaké konečné číslo L,“ mohl bych snadno zjistit, kolik členů přidat, abych se dostal tak daleko nad číslo L, jak bych chtěl.

Existují smysluplné způsoby, jak přiřadit číslo -1/12 k řadě 1+2+3…, ale já raději nenazývám -1/12 „součtem“ kladných celých čísel. Jedním ze způsobů, jak tento problém řešit, je myšlenka analytického pokračování v komplexní analýze.

Řekněme, že máme funkci f(z), která je definována někde v komplexní rovině. Oboru, kde je funkce definována, budeme říkat U. Můžete přijít na způsob, jak zkonstruovat jinou funkci F(z), která je definována ve větší oblasti tak, že f(z)=F(z) vždy, když je z v U. Nová funkce F(z) tedy souhlasí s původní funkcí f(z) všude, kde je f(z) definována, a je definována v některých bodech mimo obor f(z). Funkce F(z) se nazývá analytické pokračování funkce f(z). („The“ je vhodný přívlastek, protože analytické pokračování funkce je jedinečné.)

Analytické pokračování je užitečné, protože komplexní funkce jsou často definovány jako nekonečné řady zahrnující proměnnou z. Většina nekonečných řad však konverguje jen pro některé hodnoty z a bylo by hezké, kdybychom mohli dosáhnout toho, aby funkce byly definovány na více místech. Analytické pokračování funkce může definovat hodnoty funkce mimo oblast, kde konverguje její definice nekonečné řady. Můžeme říci, že 1+2+3…=-1/12 tím, že analytické pokračování funkce dodatečně připojíme k její původní definici nekonečné řady, což je krok, který by měl přijít s mrknutím oka ve stylu Lucille Bluth.

Dotčená funkce je Riemannova zeta funkce, která je známá pro své hluboké souvislosti s otázkami o rozdělení prvočísel. Je-li reálná část čísla s větší než 1, je Riemannova zeta funkce ζ(s) definována jako Σ∞n=1n-s. (Pro proměnnou v komplexní funkci obvykle používáme písmeno z. V tomto případě používáme s z úcty k Riemannovi, který zeta funkci definoval v článku z roku 1859 .) Tato nekonečná řada nekonverguje, když s=-1, ale můžete vidět, že když dosadíme s=-1, dostaneme 1+2+3…. Riemannova zeta funkce je analytickým pokračováním této funkce do celé komplexní roviny minus bod s=1. Když s=-1, ζ(s)=-1/12. Vložením znaménka rovnosti mezi ζ(-1) a formální nekonečnou řadu, která definuje funkci v některých dalších částech komplexní roviny, dostaneme tvrzení, že 1+2+3…=-1/12.

Analytické pokračování není jediný způsob, jak přiřadit číslo -1/12 k řadě 1+2+3….. Velmi dobré a podrobné vysvětlení způsobu, který nevyžaduje složitou analýzu – doplněné o domácí úkoly – najdete v příspěvku Terryho Taa na toto téma.

Video Numberphile mi vadilo, protože měli možnost mluvit o tom, co to znamená přiřadit hodnotu nekonečné řadě, a vysvětlit různé způsoby, jak to udělat. Pokud už o tématu něco málo víte, můžete se podívat na video a delší související video na toto téma a zachytit střípky toho, o co vlastně jde. „Wow“ faktor videa však pramení z toho, že nedává smysl, aby se hromada kladných čísel sečetla se záporným číslem, pokud diváci předpokládají, že „součet“ znamená to, co si myslí, že znamená.

Kdyby se Numberphiles explicitněji vyjádřili k alternativním způsobům přiřazování čísel k řadám, mohli udělat víc, než jen přimět lidi, aby si mysleli, že matematici neustále mění pravidla. Na konci videa se producent Brady Haran ptá fyzika Tonyho Padilly, jestli kdybyste na kalkulačce donekonečna sčítali celá čísla a na konci stiskli tlačítko „rovná se“, dostali byste -1/12. To je ale jen otázka času. Padilla drze odpoví: „Musíš jít do nekonečna, Brady!“ Ale odpověď měla znít: „Ne!“ Tady si myslím, že propásli příležitost objasnit, že používají alternativní způsob přiřazení hodnoty nekonečné řadě, díky němuž by video bylo mnohem méně zavádějící.

Jiní lidé napsali dobré věci o matematice v tomto videu. Po příliš důvěřivém příspěvku na blogu Slate o tom Phil Plait napsal mnohem vyrovnanější vysvětlení různých způsobů přiřazení hodnoty řadě. Pokud byste si chtěli detaily „důkazu“ zpracovat sami, John Baez vám poradí. Blake Stacey a Dr. Skyskull píší o tom, jak může být záměna čísla -1/12 za součet kladných celých čísel užitečná ve fyzice. Richard Elwes zveřejňuje „zdravotní a bezpečnostní varování“ o nekonečných řadách zahrnující mou starou oblíbenou harmonickou řadu. Myslím, že rozšíření diskuse o tom, co tato nekonečná řada znamená, je dobré, i když bych si přál, aby této diskuse bylo více ve videu, které má na YouTube zatím více než milion zhlédnutí!“

.