Gompertzova funkce

Gompertzova křivkaEdit

Populační biologie se zabývá zejména Gompertzovou funkcí. Tato funkce je užitečná zejména při popisu rychlého růstu určité populace organismů a zároveň je schopna zohlednit případnou horizontální asymptotu, jakmile je určena nosná kapacita (plošný počet buněk/populace).

Modeluje se takto:

N ( t ) = N 0 exp ( ln ( N I / N 0 ) ( 1 – exp ( – b t ) ) ) {\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}

kde:

• t je čas
• N0 je počáteční množství buněk
• NI je plošný počet buněk/populace
• b je počáteční rychlost růstu nádoru

Tato funkce zohledňující plošný počet buněk je užitečná pro přesné napodobení skutečné populační dynamiky. Funkce se také drží sigmoidní funkce, což je nejrozšířenější konvence obecně popisující růst populace. Funkce navíc využívá počáteční rychlost růstu, která se běžně vyskytuje u populací bakteriálních a nádorových buněk, které procházejí logaritmickou fází a jejich počet rychle roste. Navzdory své popularitě je funkci počáteční rychlost růstu nádoru obtížné předem určit vzhledem k různým mikrokosmům přítomným u pacienta nebo různým faktorům prostředí v případě populační biologie. U pacientů s nádorovým onemocněním hrají při určování rychlosti růstu nádoru roli faktory jako věk, strava, etnický původ, genetické dispozice, metabolismus, životní styl a původ metastáz. Očekává se, že se na základě těchto faktorů bude měnit i únosnost, a proto je popis takových jevů obtížný.

Metabolická křivkaEdit

Metabolická funkce se zabývá zejména zohledněním rychlosti metabolismu v organismu. Tuto funkci lze použít ke sledování nádorových buněk; rychlost metabolismu je dynamická a je značně flexibilní, což ji činí přesnější při podrobném popisu růstu rakoviny. Metabolická křivka zohledňuje energii, kterou tělo poskytuje při udržování a tvorbě tkání. Tuto energii lze považovat za metabolismus a při buněčném dělení se řídí určitým vzorcem. Zachování energie lze použít k modelování takového růstu bez ohledu na rozdílnou hmotnost a dobu vývoje. Všechny taxony mají podobný vzorec růstu a tento model v důsledku toho zohledňuje buněčné dělení, které je základem vývoje nádoru.

B = ∑ C ( N C B C ) + ( E C d N C d t ) {\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operátor {d} \!N_{C} \over \operátor {d} \!t}\right)}

• B = energie, kterou organismus spotřebuje v klidu
• NC = počet buněk v daném organismu
• BC= rychlost metabolismu jednotlivé buňky
• NCBC= energie potřebná k udržení existujícího tkáně
• EC= energie potřebná k vytvoření nové tkáně z jednotlivé buňky

Rozlišení mezi energií spotřebovanou v klidu a metabolickou prací umožňuje modelu přesněji určit rychlost růstu. Energie v klidu je nižší než energie použitá k udržení tkáně a společně představují energii potřebnou k udržení stávající tkáně. Použití těchto dvou faktorů spolu s energií potřebnou k vytvoření nové tkáně komplexně mapuje rychlost růstu a navíc vede k přesnému znázornění lag fáze.

Růst nádorůEdit

V 60. letech 20. století A. K. Laird poprvé úspěšně použil Gompertzovu křivku k fitování dat o růstu nádorů. Nádory jsou totiž buněčné populace rostoucí v omezeném prostoru, kde je dostupnost živin omezená. Označíme-li velikost nádoru jako X(t), je užitečné zapsat Gompertzovu křivku takto:

X ( t ) = K exp ( log ( X ( 0 ) K ) exp ( – α t ) ). {\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}}\right)\exp \left(-\alfa t\right)\right)}

kde:

• X(0) je velikost nádoru v počátečním čase pozorování;
• K je nosnost, tj.Tj. maximální velikost, které lze dosáhnout s dostupnými živinami. Ve skutečnosti je to následující:
  lim t → + ∞ X ( t ) = K {\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}

  

nezávisle na X(0)>0. Všimněte si, že při absenci terapie apod. obvykle je to X(0)<K, zatímco v přítomnosti terapií to může být X(0)>K;

• α je konstanta související s proliferační schopností buněk.
• log() se vztahuje k přirozenému logaritmu.

Lze ukázat, že dynamika X(t) se řídí Gompertzovou diferenciální rovnicí:

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ). X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alfa \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

tj. při rozkladu má tvar:

X ′ ( t ) = F ( X ( t ) ) X ( t ) , přičemž F ′ ( X ) ≤ 0 , {\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}

F(X) je okamžitá rychlost množení buněčné populace, jejíž klesající charakter je způsoben konkurencí o živiny v důsledku nárůstu buněčné populace, podobně jako u logistické rychlosti růstu. Existuje však zásadní rozdíl: v logistickém případě je rychlost množení pro malou buněčnou populaci konečná:

F ( X ) = α ( 1 – ( X K ) ν ) ⇒ F ( 0 ) = α < + ∞ {\displaystyle F(X)=\alfa \left(1-\left({\frac {X}{K}}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alfa <+\infty }

kdežto v Gompertzově případě je míra šíření neomezená:

lim X → 0 + F ( X ) = lim X → 0 + α log ( K X ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alfa \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }

Jak si všiml Steel a Wheldon, rychlost proliferace buněčné populace je v konečném důsledku omezena dobou dělení buněk. To tedy může být důkazem, že Gompertzova rovnice není vhodná pro modelování růstu malých nádorů. Navíc bylo v poslední době zaznamenáno, že při zahrnutí interakce s imunitním systémem by Gompertzův a další zákony charakterizované neomezeným F(0) vylučovaly možnost imunitního dohledu.

Teoretická studie Fornalského a kol. ukázala biofyzikální základ Gompertzovy křivky pro růst rakoviny s výjimkou velmi časné fáze, kde je vhodnější parabolická funkce. Zjistili také, že Gompertzova křivka popisuje nejtypičtější případ z široké rodiny funkcí dynamiky rakoviny.

Gompertzův růst a logistický růstPravda

Gompertzova diferenciální rovnice

X ′ ( t ) = α log ( K X ( t ) ). X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alfa \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}

je limitním případem zobecněné logistické diferenciální rovnice

X ′ ( t ) = α ν ( 1 – ( X ( t ) K ) 1 ν ) X ( t ) {\displaystyle X^{\prime }(t)=\alfa \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}

(kde ν > 0 {\displaystyle \nu >0}

je kladné reálné číslo), protože

lim ν → + ∞ ν ( 1 – x 1 / ν ) = – log ( x ) {\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}

.

Kromě toho, v grafu zobecněné logistické funkce existuje inflexní bod, když

X ( t ) = ( ν ν + 1 ) ν K {\displayystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}

a jedna v grafu Gompertzovy funkce, když

X ( t ) = K e = K ⋅ lim ν → + ∞ ( ν ν + 1 ) ν {\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }})

.

Modelování trajektorie infekce COVID-19Edit

Zobecněná logistická funkce (Richardsova růstová křivka) v epidemiologickém modelování

Zobecněná logistická funkce, nazývaná také Richardsova růstová křivka, se široce používá při modelování trajektorií infekce COVID-19. Trajektorie infekce je denní časová řada údajů o kumulativním počtu nakažených případů pro subjekt, jako je země, město, stát atd. V literatuře existují varianty přeparametrizací: jeden z často používaných tvarů je

f ( t ; θ 1 , θ 2 , θ 3 , ξ ) = θ 1 1 / ξ {\displaystyle f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{^{1/\xi }}}}

kde θ 1 , θ 2 , θ 3 {\displayystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}

jsou reálná čísla a ξ {\displaystyle \xi }.

je kladné reálné číslo. Pružnost křivky f {\displaystyle f}

je způsobena parametrem ξ {\displaystyle \xi }

: (i) jestliže ξ = 1 {\displaystyle \xi =1}

pak se křivka redukuje na logistickou funkci a ii) pokud ξ {\displaystyle \xi }

konverguje k nule, pak křivka konverguje ke Gompertzově funkci. V epidemiologickém modelování platí θ 1 {\displaystyle \theta _{1}}.

, θ 2 {\displaystyle \theta _{2}}.

a θ 3 {\displaystyle \theta _{3}}.

představují konečnou velikost epidemie, míru infekce a fázi zpoždění. Viz pravý panel pro příkladnou trajektorii infekce, kdy ( θ 1 , θ 2 , θ 3 ) {\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})}

jsou označeny ( 10 , 000 , 0,2 , 40 ) {\displaystyle (10,000,0,2,40)}

.

Extrapolované trajektorie infekce 40 zemí vážně postižených COVID-19 a velký (populační) průměr do 14. května

Jednou z výhod použití růstové funkce, jako je zobecněná logistická funkce, v epidemiologickém modelování je její poměrně snadné rozšíření do rámce víceúrovňového modelu pomocí růstové funkce k popisu trajektorií infekce od více subjektů (zemí, měst, států atd.). Viz výše uvedený obrázek. Takový rámec modelování lze také široce nazvat nelineárním modelem se smíšenými efekty nebo hierarchickým nelineárním modelem.

Gomp-Exův zákon růstuEdit

Na základě výše uvedených úvah navrhl Wheldon matematický model růstu nádorů, nazvaný Gomp-Exův model, který mírně modifikuje Gompertzův zákon. V modelu Gomp-Ex se předpokládá, že zpočátku neexistuje konkurence o zdroje, takže buněčná populace se rozšiřuje podle exponenciálního zákona. Existuje však kritická hranice velikosti X C {\displaystyle X_{C}}.

taková, že pro X > X C {\displaystyle X>X_{C}}.

. Předpoklad, že neexistuje konkurence o zdroje, platí ve většině scénářů. Může však být ovlivněn omezujícími faktory, což vyžaduje vytvoření proměnných dílčích faktorů.

Růst se řídí Gompertzovým zákonem:

F ( X ) = max ( a , α log ( K X ) ). {\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alfa \log \left({\frac {K}{X}}}\right)\right)}

takže:

X C = K exp ( – a α ) . {\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alfa }}\right).}

Zde jsou některé numerické odhady pro X C {\displaystyle X_{C}}.