Bod rovnováhy

Bod x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\\v \mathbb {R} ^{n}}.

je rovnovážný bod pro diferenciální rovnici d x d t = f ( t , x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x } }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}

if f ( t , x ~ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }

pro všechny t {\displaystyle t}

.

Podobně bod x ~ ∈ R n {\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\\v \mathbb {R} ^{n}}.

je rovnovážný bod (nebo pevný bod) pro diferenciální rovnici x k + 1 = f ( k , x k ) {\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

if f ( k , x ~ ) = x ~ {\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}

pro k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\ldots }

.

Rovnováhy lze klasifikovat podle znamének vlastních čísel linearizace rovnic o rovnováhách. To znamená, že vyhodnocením Jakobsonovy matice v každém z rovnovážných bodů systému a následným nalezením výsledných vlastních čísel lze rovnováhy kategorizovat. Pak lze kvalitativně určit chování systému v okolí každého rovnovážného bodu (nebo v některých případech dokonce kvantitativně) nalezením vlastního vektoru (vlastních vektorů) spojeného s každou vlastní hodnotou.

Rovnovážný bod je hyperbolický, jestliže žádná z vlastních hodnot nemá nulovou reálnou část. Pokud mají všechny vlastní hodnoty zápornou reálnou část, je rovnovážný stav stabilní rovnicí. Má-li alespoň jedna z nich kladnou reálnou část, je rovnováha nestabilním uzlem. Má-li alespoň jedna vlastní hodnota zápornou reálnou část a alespoň jedna má kladnou reálnou část, je rovnováha sedlovým bodem.

.