Argandova rovina a polární zobrazení

Argandova rovina

V předchozích hodinách jste se dočetli o číselné řadě. Je to vhodný způsob, jak znázornit reálná čísla jako body na přímce. Podobně jste se dočetli o kartézském souřadnicovém systému. Je to soubor tří vzájemně kolmých os a vhodný způsob, jak znázornit množinu čísel (dvě nebo tři) nebo bod v prostoru.

Začněme s číselnou přímkou. Představte si, že jste nějaký matematický bůh a právě jste vytvořili reálná čísla. Stalo se, že jste nakreslili další přímku kolmou k reálné ose. Jaká bude tato přímka? Rozhodně nebude reálná. Musí to tedy být imaginární neboli komplexní přímka.

Máme tedy způsob, jak graficky znázornit libovolné imaginární číslo. Stačí najít jeho reálnou část a imaginární část. Za druhé je znázorníme na dvou vzájemně kolmých číselných přímkách. Průsečík, jak je znázorněno výše, je počátkem naší roviny.

Takto vytvořená rovina se nazývá Argandova rovina a je vhodným způsobem, jak graficky znázornit libovolné imaginární číslo. Nechť z = x + iy. Pak Re(z) = x a Im(z) = y.

• Základy komplexních čísel
• Operace s komplexními čísly
• Modul a konjugát komplexního čísla
• Komplexní kvadratické rovnice

Uspořádaná dvojice (x,y) zobrazená v Argandově rovině bude představovat bod. Tento bod odpovídá našemu komplexnímu číslu z. Z bodu O nakreslíme přímku do bodu P(x,y), který představuje z. Nechť θ je úhel, který tato přímka svírá s kladným směrem „reálné osy“. (90 – θ) je tedy úhel, který svírá s „imaginární osou“. To je poněkud důležité, takže to mějte po ruce!“

Argument z

Jak již bylo stanoveno, každé komplexní číslo lze znázornit někde v Argandově rovině. Vyplývá to z toho, že za působení naší algebry jsou Komplexní čísla uzavřená. Představte si, že znázorníte dvě čísla, z1 = 2 +3i a z2 = 2 – 3i. Vidíme, že |z1| = |z2|. Ups! Co jsme to udělali? Vyneseme-li do grafu dva body (2, 3) a (2, -3), zjistíme, že jsou symetrické nad a pod reálnou osou. Říkáme jim vzájemné zrcadlové obrazy.

Jak mezi nimi poznáme rozdíl? Zavedeme další veličinu, kterou nazýváme Argument z1 a z2. Je definována jako úhel „θ“, který svírá přímka spojující bod P (představující naše komplexní číslo) a počátek O, s kladným směrem „reálných os“. To dává každému komplexnímu číslu jedinečný smysl směru nebo orientace v Argandově rovině. Proto můžeme jednoznačně reprezentovat každý bod v Argandově rovině.

Modul komplexního čísla

V dřívější části jsme definovali modul imaginárního čísla z = a + ib jako |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Zde uvidíme, že tato definice dokonale odpovídá geometrickému zobrazení komplexních čísel.

Na výše uvedeném obrázku předpokládejme, že hrot šipky je P (a, b), kde P představuje číslo z = a + ib. Pak délku OP zjistíme pomocí vzorce pro vzdálenost jako = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2}. \)

Můžeme tedy říci, že OP = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Modul je tedy délka úsečky spojující bod odpovídající našemu komplexnímu číslu s počátkem Argandovy roviny. Jak vidíte, je vždy kladný, proto mu říkáme modul. Teď už to do sebe všechno zapadá, že?“

Kliknutím na tlačítko ke stažení níže si můžete stáhnout Tahák na komplexní čísla

Polární zobrazení

Máme různé typy souřadnicových systémů. Jedním z nich je polární souřadnicový systém. Je to jen soubor vzájemně kolmých přímek. Počátek se nazývá pól. Polohu libovolného bodu změříme tak, že změříme délku přímky, která jej spojuje s počátkem, a úhel, který tato přímka svírá s určenou osou. Známe-li například hodnotu φ a r, můžeme určit polohu P. Jsou to polární souřadnice, r a φ.

Podobně, známe-li argument komplexního čísla v Argandově rovině a délku OP, můžeme uvedené číslo určit. Nechť r = OP. Víme také, že OP = |z| = r ; kde z = x + iy

Souřadnice P jsou (x, y). V pravoúhlém trojúhelníku vidíme, že x = r cos(θ) a y = r sin(θ). Můžeme tedy napsat, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . To je, milí přátelé, polární zobrazení našeho komplexního čísla z = x + iy s:

Arg(z) = θ a |z| = r

Nyní y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Tedy θ = tan-1(y/x)

Pomocí tohoto vztahu můžeme najít argument komplexního čísla.

Řešené příklady pro vás

Otázka 1: Jestliže z = -2(1+2i)/(3 + i), kde i= \( \sqrt{-1} \), pak argument θ(-π < θ ≤ π) z je:

A) 3 \( \frac{π}{4} \) B) \( \frac{π}{4} \) C) 5 \( \frac{π}{6} \) D) -3 \( \frac{π}{4} \)

Odpověď : D) Protože z = -2(1+2i)/(3 + i)

Násobením a dělením (3 – i) dostáváme

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Při porovnání se z = x + iy, máme x = -1 a y = -1

Tudíž θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

Proč ne \( \frac{π}{4} \) ? Protože x i y jsou záporné. To znamená, že bod P je nyní ve třetím kvadrantu. Proto θ = -3 \( \frac{π}{4} \) .

Otázka 2: Jaká je základní struktura argumentu?

Odpověď: Argument se skládá alespoň z jedné premisy, která nevede k závěru. Kromě toho se skládá alespoň z jedné premisy a jednoho klamného závěru, který používáme na podporu závěru. Kromě toho se argument skládá z premis, které používáme k podpoře závěru.

Otázka 3: Co je to seznam argumentů?

Odpověď: Co je to seznam argumentů?

Otázka 4: Jaký je rozdíl mezi hlavním argumentem a argumentem?

Odpověď: Argumentem se rozumí seznam, který vyjadřujemev seznamu odděleném čárkou a ohraničeném závorkami ve výrazu volání funkce, nebo je to posloupnost zpracovávaných tokenů v seznamu odděleném čárkou a ohraničeném interpolací ve volání makra podobného funkci: Hodnota, která leží mezi -pi a pí, se nazývá hlavní argument komplexního čísla. Dále je to taková hodnota, že -π < θ = π. Kromě toho θ je periodická funkce s periodou 2π, takže tento argument můžeme znázornit jako (2nπ + θ), kde n je celé číslo a jedná se o obecný argument.

Otázka 5: Co je to argument reálného čísla?

Odpověď: Je to úhel, který svírá vektor a komplexní číslo s kladnou reálnou osou. Také když je reálné číslo kladné, pak je odpovědí vaše měření úhlu.