Analýza složitosti modelu Cournot-Bertrandovy duopolní hry s omezenými informacemi
On 23 listopadu, 2021 by adminAbstrakt
Uvažuje se model Cournot-Bertrandovy smíšené duopolní hry s omezenými informacemi o trhu a soupeři, kde trh má lineární poptávku a dvě firmy mají stejné fixní mezní náklady. Principy rozhodování jsou omezeně racionální. Jedna firma volí produkci a druhá volí cenu jako rozhodovací proměnnou, přičemž se předpokládá, že existuje určitý stupeň diferenciace mezi výrobky nabízenými firmami, aby se zabránilo obsazení celého trhu tou, která uplatňuje nižší cenu. Zkoumá se existence bodu Nashovy rovnováhy a její lokální stabilita. Složitá dynamika, jako jsou bifurkační scénáře a cesta k chaosu, je zobrazena pomocí grafů povodí parametrů pomocí numerického experimentu. Vlivy parametrů na výkonnost systému jsou diskutovány z hlediska ekonomie.
1. Úvod
Oligopol je tržní struktura mezi monopolem a dokonalou konkurencí, v níž trh zcela ovládá pouze několik firem vyrábějících stejnou nebo homogenní produkci . Pokud existují dvě firmy, nazývá se duopol, zatímco pokud existují tři konkurenti, je znám jako triopol.
Cournotův oligopol a Bertrandův oligopol jsou dva nejvýznamnější modely v teorii oligopolu. V Cournotově modelu firmy kontrolují úroveň své výroby, která ovlivňuje tržní cenu, zatímco v Bertrandově modelu firmy volí cenu jednotky výrobku, aby ovlivnily tržní poptávku.
Velké množství literatury se zabývá Cournotovou nebo Bertrandovou konkurencí na oligopolním trhu , ale jen podstatně menší počet prací se věnuje Cournotově-Bertrandově konkurenci, která se vyznačuje tím, že trh lze rozdělit na dvě skupiny firem, z nichž první optimálně upravuje ceny a druhá optimálně upravuje svůj výstup tak, aby zajistila maximální zisk .
Cournotův-Bertrandův model existuje v reálné ekonomice. Například na duopolním trhu jedna firma soutěží v dominantním postavení a jako rozhodovací proměnnou volí výstup, zatímco druhá je v nevýhodě a jako rozhodovací proměnnou volí cenu, aby získala větší podíl na trhu. Jak je nám dosud známo, Bylka a Komar a Singh a Vives jsou prvními autory, kteří analyzovali duopoly, kde jedna firma soutěží množstvím a druhá cenami. Häckner , Zanchettin a Arya et al. poukázali na to, že v některých případech může být Cournotova-Bertrandova konkurence optimální. Nedávno C. H. Tremblay a V. J. Tremblay analyzovali úlohu diferenciace výrobků pro statické vlastnosti Nashovy rovnováhy Cournot-Bertrandova duopolu. Naimzada a Tramontana uvažovali model Cournotova-Bertrandova duopolu, který je charakterizován lineárními diferenčními rovnicemi. Analyzovali také úlohu dynamiky nejlepší odezvy a adaptivního přizpůsobovacího mechanismu pro stabilitu rovnováhy.
V tomto článku jsme sestavili model Cournotova-Bertrandova duopolu za předpokladu, že dvě firmy volí jako rozhodovací proměnnou produkci, resp. cenu, a všechny mají omezená racionální očekávání. Herní systém lze popsat nelineárními diferenciálními rovnicemi, což modifikuje a rozšiřuje výsledky Naimzady a Tramontana , kteří uvažovali firmy se statickými očekáváními a popisovali je lineárními diferenciálními rovnicemi. Výzkum povede k dobrému návodu pro rozhodování podniků, aby se rozhodovaly co nejlépe.
Příspěvek je uspořádán následovně v části 2 je popsán model Cournotovy-Bertrandovy hry s omezenými racionálními očekáváními. V oddíle 3 je studována existence a stabilita rovnovážných bodů. V oddíle 4 je pomocí numerických simulací zkoumáno dynamické chování při určité změně řídicích parametrů hry. Nakonec je v oddíle 5 vyvozen závěr.
2. Model Cournotovy-Bertrandovy hry s omezenými racionálními očekáváními
Uvažujeme trh obsluhovaný dvěma firmami a firma vyrábí zboží , . Mezi výrobky existuje určitý stupeň diferenciace a . Firma 1 soutěží ve výstupu jako v Cournotově duopolu, zatímco firma 2 stanovuje svou cenu jako v Bertrandově případě. Předpokládejme, že firmy činí svá strategická rozhodnutí současně a každá firma zná výrobu a cenu každé jiné firmy.
Inverzní poptávkové funkce výrobků odrůdy 1 a 2 vycházejí z maximalizace reprezentativního spotřebitele následující funkce užitku: s rozpočtovým omezením a jsou dány následujícími rovnicemi (podrobný důkaz viz ): kde parametr označuje index diferenciace výrobků nebo substituce výrobků. Stupeň diferenciace výrobků se bude zvyšovat s . Produkty a jsou homogenní, když , a každá firma je monopolistou, když , zatímco záporná hodnota znamená, že produkty jsou komplementární. Předpokládejme, že obě firmy mají stejné mezní náklady , a nákladová funkce má lineární tvar: Poptávkový systém můžeme zapsat ve dvou strategických proměnných, a : Ziskové funkce firem 1 a 2 mají tvar:
Předpokládáme, že obě firmy nemají úplné znalosti o trhu a o druhém hráči a že se rozhodují na základě očekávaného mezního zisku. Pokud je mezní zisk kladný (záporný), zvyšují (snižují) v příštím období svou výrobu nebo cenu; to znamená, že jsou omezenými racionálními hráči . Pak lze Cournotův-Bertrandův smíšený dynamický systém popsat nelineárními diferenciálními rovnicemi: kde a představují rychlost přizpůsobení obou hráčů v jednotlivých relacích, resp.
3. Body rovnováhy a lokální stabilita
Systém (6) má čtyři body rovnováhy: kde , . , , a jsou hraniční rovnovážné body, a je jedinečný bod Nashovy rovnováhy za předpokladu, že a , který vyžaduje . V opačném případě bude jedna firma mimo trh.
Pro zkoumání lokální stability rovnovážných bodů nechť je Jacobova matice systému (6) odpovídající stavovým proměnným , pak kde , . Stabilita rovnovážných bodů bude určena charakterem vlastních čísel rovnovážné matice Jakobsonova matice vyhodnocených v příslušných rovnovážných bodech.
Předpoklad 1. Stabilita rovnovážných bodů bude určena charakterem vlastních čísel matice Jakobsonova matice vyhodnocených v příslušných rovnovážných bodech. Hraniční rovnovážné body , , a systému (6) jsou nestabilní rovnovážné body, když .
Důkaz. Pro rovnováhu , je Jakobsonova matice systému (6) rovna těmto vlastním hodnotám, které odpovídají rovnováze, jsou následující: Zřejmě , pak je rovnovážný bod nestabilní.
Také při Jakobsonově matici se stává trojúhelníková matice Tyto vlastní hodnoty, které odpovídají rovnováze, jsou následující: Když , evidentně . Rovnovážný bod je tedy nestabilní. Podobně můžeme dokázat, že je také nestabilní.
Z ekonomického hlediska nás více zajímá studium vlastností lokální stability bodu Nashovy rovnováhy , jejíž vlastnosti byly důkladně analyzovány v .
Jakobsonova matice vyhodnocená v bodě Nashovy rovnováhy je následující
Stopa a determinant jsou označeny jako a , resp. Vzhledem k bodu , , a , je nyní obtížnější explicitně vypočítat vlastní čísla, ale přesto je možné vyhodnotit stabilitu bodu Nashovy rovnováhy pomocí následujících podmínek stability, známých jako Juryho podmínky : Výše uvedené nerovnosti vymezují oblast, ve které je bod Nashovy rovnováhy lokálně stabilní. O oblasti stability se také můžeme dozvědět více pomocí numerických simulací. Pro studium komplexní dynamiky systému (6) je vhodné vzít hodnoty parametrů následujícím způsobem: Obrázek 1 ukazuje v rovině parametrů oblasti stability a nestability. Z obrázku můžeme zjistit, že příliš vysoká rychlost nastavení způsobí, že bod Nashovy rovnováhy ztratí stabilitu. Zjistíme také, že rychlost přizpůsobování ceny je citlivější než rychlost výstupu, a když přibližně , ztratí bod Nashovy rovnováhy stabilitu, zatímco přibližně bod Nashovy rovnováhy to udělá.
Oblast stability a nestability.
4. Oblasti stability a nestability. Vliv parametrů na stabilitu systému
Karty povodí parametrů (nazývané také 2D bifurkační diagramy) jsou mocnějším nástrojem při numerické analýze nelineární dynamiky než 1D bifurkační diagramy , které stabilním cyklům různých period přiřazují ve 2D prostoru parametrů různé barvy. V této části budou diagramy v pánvi parametrů použity k analýze vlivu rychlosti přizpůsobování hráčů a indexu diferenciace produktů na stabilitu systému. Nastavili jsme a počáteční hodnoty jsme zvolili jako .
4.1. Vliv rychlosti přizpůsobování hráčů na stabilitu systému
Na obrázku 2 je znázorněna kotlina parametrů s ohledem na parametry, kdy a přiřazuje různé barvy stabilním ustáleným stavům (tmavě modrá); stabilním cyklům period 2 (světle modrá), 4 (fialová) a 8 (zelená) (první čtyři cykly v periodě zdvojení bifurkační cesty k chaosu) a periodám 3 (červená), 5 (oranžová) a 7 (růžová) (stabilní cykly nízkého řádu liché periody); chaosu (žlutá); divergenci (bílá) (což znamená, že jeden z hráčů bude v ekonomice mimo trh).
Bazén parametrů pro .
Můžeme zjistit, že když parametry procházejí hranicemi jako černé šipky a , systém (6) ztrácí stabilitu prostřednictvím překlopné bifurkace (tzv. bifurkace zdvojení periody ve spojitém systému), jak je znázorněno na obrázcích 3 a 4. Když však parametry překročí hranice jako šipky , je dynamické chování systému komplikovanější a systém nejprve vstupuje do chaosu prostřednictvím Neimark-Sackerovy bifurkace (nazývané Hopfova bifurkace ve spojitém systému) , podruhé vstupuje do periody 2 a poté se samostatně vyvíjí do chaosu prostřednictvím klopné bifurkace, jak je znázorněno na obrázku 5. Všimneme si také, že ve žluté oblasti (chaos) je červená čára a oranžové body (lichý cyklus); to znamená, že v chaosu je přerušovaný lichý cyklus, jak je znázorněno na obrázcích 3 až 5. Je dobře známo, že pro 1D spojité mapy cyklus s lichou periodou implikuje chaotické dynamické chování (tzv. topologický chaos) podle slavného výsledku „perioda 3 implikuje chaos“ Liho a Yorka .
Bifurkační diagram pro a se pohybuje od 1,5 do 3,5 .
Bifurkační diagram pro a se mění od 1,5 do 2,8.
Bifurkační diagram pro a se mění od 1,8 do 2,8.
Z hlediska ekonomie by se rychlost přizpůsobování firem a měla pohybovat v určitém rozmezí, jinak dojde ke vzniku kolísání cyklu a následně k chaosu, což znamená nepravidelnému, citlivému na počáteční hodnoty, nepředvídatelnému a pro ekonomiku špatnému. Zjistili jsme také, že rozsah přizpůsobení je větší než rozsah , což znamená, že přizpůsobení ceny je citlivější než přizpůsobení výstupu a cenová válka snáze přivede trh do chaosu.
4.2. Přizpůsobení cenového cyklu Vlivy indexu diferenciace produktu na stabilitu systému
Za účelem zjištění vlivů indexu diferenciace produktu na stabilitu systému jsou na obrázcích 6, 7, 8 a 9 uvedeny povodí parametrů pro , , , a zvlášť.
Povodí parametrů pro .
Bazén parametrů pro .
Bazén parametrů pro .
Bazén parametrů pro .
Z porovnání vidíme, že tmavě modrá plocha se zvětšuje a žlutá plocha se zmenšuje s rostoucím indexem diferenciace produktu ; to znamená, že stupeň diferenciace produktu je menší a nastavitelný rozsah parametrů a aby systém zůstal stabilní, bude větší, což znamená větší konkurenci mezi produkty dvou firem.
5. Závěry
V tomto článku navrhujeme model Cournotovy-Bertrandovy smíšené hry, přičemž předpokládáme, že firmy nemají úplné informace o trhu a soupeři a rozhodují se podle vlastního mezního zisku. Předpokládá se, že funkce poptávky a nákladů je lineární a model lze popsat diferenčními rovnicemi. Hraniční rovnováha je vždy nestabilní a analyzuje se existence a lokální stabilita Nashovy rovnováhy. Dále analyzujeme vliv parametrů (rychlost přizpůsobení a index diferenciace produktu) na stabilitu systému a pomocí grafů pánve parametrů analyzujeme různé bifurkace a cesty k chaosu. Je třeba zvážit modely Cournotovy-Bertrandovy hry v různých marketingových podmínkách a bude to zajímavé téma pro budoucí studium.
Poděkování
Autoři děkují recenzentům za pečlivé čtení a poskytnutí některých relevantních podnětů. Výzkum byl podpořen Čínskou národní nadací pro přírodní vědy (č. 61273231).
Napsat komentář