2.7 Hmotnostní vada – zdroj jaderné energie

Rovnováha hmotnosti a energie

Vztah mezi hmotností (m) a energií (E) je vyjádřen následující rovnicí:

kde

• (c\) je rychlost světla (\(2.998 \krát 10^8\; m/s\)) a
• \(E\) a \(m\) jsou vyjádřeny v jednotkách joulů, resp. kilogramů.

Albert Einstein tento vztah poprvé odvodil v roce 1905 jako součást své speciální teorie relativity: hmotnost částice je přímo úměrná její energii. Podle rovnice \(\ref{Eq1}\) má tedy každá hmotnost přiřazenou energii a podobně každá reakce, která zahrnuje změnu energie, musí být doprovázena změnou hmotnosti. To znamená, že všechny exotermické reakce by měly být doprovázeny poklesem hmotnosti a všechny endotermické reakce by měly být doprovázeny nárůstem hmotnosti. Jak to může být pravda vzhledem k zákonu zachování hmotnosti? Řešení tohoto zdánlivého rozporu spočívá v tom, že chemické reakce jsou skutečně doprovázeny změnami hmotnosti, ale tyto změny jsou jednoduše příliš malé na to, aby je bylo možné zjistit. Jak si možná vzpomínáte, všechny částice vykazují vlnové chování, ale vlnová délka je nepřímo úměrná hmotnosti částice (ve skutečnosti její hybnosti, součinu její hmotnosti a rychlosti). V důsledku toho je vlnové chování detekovatelné pouze u částic s velmi malou hmotností, jako jsou elektrony. Například chemická rovnice pro spalování grafitu za vzniku oxidu uhličitého je následující:

\

Spalovací reakce obvykle probíhají za konstantního tlaku a za těchto podmínek je uvolněné nebo absorbované teplo rovno ΔH. Pokud reakce probíhá při konstantním objemu, je uvolněné nebo absorbované teplo rovno ΔE. U většiny chemických reakcí je však ΔE ≈ ΔH. Pokud Einsteinovu rovnici přepíšeme jako

, můžeme rovnici přeuspořádat a získat následující vztah mezi změnou hmotnosti a změnou energie:

Protože 1 J = 1 (kg-m2)/s2, změna hmotnosti je následující:

To je změna hmotnosti přibližně o 3.6 × 10-10 g/g uhlíku, který je spálen, neboli přibližně 100 miliontin hmotnosti elektronu na atom uhlíku. V praxi je tato změna hmotnosti příliš malá na to, aby ji bylo možné experimentálně změřit, a je zanedbatelná.

Naproti tomu u typické jaderné reakce, jako je radioaktivní rozpad 14C na 14N a elektron (částice β), dochází k mnohem větší změně hmotnosti:

K přímému výpočtu změny hmotnosti můžeme použít experimentálně změřené hmotnosti subatomárních částic a běžných izotopů uvedené v tabulce 20.1. V tabulce 20.1 jsou uvedeny hodnoty hmotnosti, které se při rozpadu změnily. Reakce zahrnuje přeměnu neutrálního atomu 14C na kladně nabitý iont 14N (se šesti, nikoli sedmi elektrony) a záporně nabitou částici β (elektron), takže hmotnost produktů je shodná s hmotností neutrálního atomu 14N. Celková změna hmotnosti během reakce je tedy rozdíl mezi hmotností neutrálního atomu 14N (14,003074 amu) a hmotností atomu 14C (14,003242 amu):

\

Rozdíl v hmotnosti, který se uvolnil jako energie, odpovídá téměř jedné třetině elektronu. Změna hmotnosti při rozpadu 1 molu 14C je -0,000168 g = -1,68 × 10-4 g = -1,68 × 10-7 kg. Ačkoli se změna hmotnosti o této velikosti může zdát malá, je asi 1000krát větší než změna hmotnosti při spalování grafitu. Změna energie je následující:

Energie uvolněná při této jaderné reakci je více než 100 000krát větší než při typické chemické reakci, přestože rozpad 14C je jaderná reakce s relativně nízkou energií.

Protože jsou energetické změny při jaderných reakcích tak velké, často se vyjadřují v kiloelektronvoltech (1 keV = 103 eV), megaelektronvoltech (1 MeV = 106 eV) a dokonce v gigaelektronvoltech (1 GeV = 109 eV) na atom nebo částici. Změnu energie, která doprovází jadernou reakci, lze vypočítat ze změny hmotnosti pomocí vztahu 1 amu = 931 MeV. Energie uvolněná při rozpadu jednoho atomu 14C je tedy