Argand Planeta e Representação Polar

Anteriormente dissemos que os números complexos são números que não podem cair na linha numérica! Também vimos que cada número real é também um número complexo com parte imaginária = 0. Como podemos representar estes números graficamente? Qual é o Argumento de um número complexo? Vamos responder nesta seção.

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Argand Plane

Nas aulas anteriores, você leu sobre a linha de números. É uma forma conveniente de representar números reais como pontos em uma linha. Da mesma forma, você lê sobre o Sistema de Coordenadas Cartesianas. É um conjunto de três eixos mutuamente perpendiculares e uma forma conveniente de representar um conjunto de números (dois ou três) ou um ponto no espaço.

Deixe-nos começar com a linha de número. Imagine que você é uma espécie de deus da matemática e que acabou de criar os números reais. Aconteceu assim que você desenhou outra linha perpendicular ao eixo real. Qual vai ser essa linha? Definitivamente não é real. Portanto, deve ser imaginária ou a linha complexa.

>Assim temos uma forma de representar qualquer número imaginário graficamente. Tudo o que precisamos fazer é encontrar a sua parte real e uma parte imaginária. Em segundo lugar, nós os representamos nas duas linhas de números mutuamente perpendiculares. O ponto de intersecção, como mostrado acima, é a origem do nosso Plano.

O Plano assim formado é conhecido como o Plano Argand e é uma forma conveniente de representar qualquer número imaginário graficamente. Deixe z = x + iy. Então Re(z) = x e Im(z) = y.

• Basics of Complex Numbers
• Operações sobre números complexos
• Módulo e conjugado de um número complexo
• Equações quadráticas complexas

O par ordenado (x,y) representado no plano Argand representará um ponto. Este ponto corresponde ao nosso número complexo z. Traçamos uma linha dirigida de O até ao ponto P(x,y) que representa z. Que θ seja o ângulo que esta reta faz com a direção positiva do “Eixo Real”. Portanto, (90 – θ) é o ângulo que ela faz com o “Eixo Imaginário”. Isto é um pouco importante, portanto mantenha-o à mão!

Argumento de z

Como já estabelecido, cada número complexo pode ser representado em algum lugar no Plano Argand. Isto decorre do facto de que sob o funcionamento da nossa Álgebra, os números Complexos estão fechados. Imagine que você representa dois números, z1 = 2 +3i e z2 = 2 – 3i. Podemos ver que |z1| = |z2|. Oops! O que nós fizemos? Se você traçar os dois pontos (2, 3) e (2, -3), você verá que eles são simétricos acima e abaixo dos eixos reais. Nós os chamamos de imagens de espelho um do outro.

Como podemos dizer a diferença entre eles? Introduzimos outra quantidade chamada Argumento de z1 e z2. É definido como o ângulo ‘θ’ que a linha que une o ponto P (representando o nosso número complexo) e a origem O, faz com a direção positiva dos “Eixos Reais”. Isto dá a cada número complexo um sentido único de uma direção ou orientação no Plano de Argand. Assim podemos representar de forma única cada ponto do Plano de Argand.

Módulo de um número complexo

Numa secção anterior definimos o módulo de um número imaginário z = a + ib como |z| = \( \sqrt{a^2 + b^2} \) . Aqui veremos que esta definição se encaixa perfeitamente na representação geométrica dos números complexos.

Na figura acima, suponha que a ponta da seta é P (a, b), onde P representa o número z = a + ib. Então o comprimento do OP pode ser descoberto usando a fórmula de distância como = \( \sqrt{(a – 0)^2 + (b-0)^2} \)

Hence podemos dizer que OP = {a^2 + b^2} {a^2} . Portanto, o módulo é o comprimento do segmento de linha que une o ponto, correspondente ao nosso número complexo, com a origem do Plano Argand. Como você pode ver é sempre positivo, por isso o chamamos de módulo. Tudo se encaixa agora, não é?

Você pode baixar a Folha de Números Complexos clicando no botão de download abaixo

Representação Polar

Temos diferentes tipos de sistemas de coordenadas. Um deles é o sistema de Coordenadas Polares. Trata-se apenas de um conjunto de linhas mutuamente perpendiculares. A origem é chamada de Polo. Medimos a posição de qualquer ponto medindo o comprimento da linha que o liga à origem e o ângulo que a linha faz com um eixo especificado. Por exemplo, se conhecemos o valor de φ e r podemos localizar P. Estas são as coordenadas polares, r e φ.

Similiarmente, se conhecemos o Argumento de um número complexo no Plano de Argand e o comprimento OP, podemos localizar o referido número. Let r = OP. Também sabemos que OP = |z| = r ; onde z = x + iy

As coordenadas de P são (x, y). No triângulo angular direito vemos que x = r cos(θ) e y = r sin(θ). Assim podemos escrever, z = r cos(θ) + r sin(θ) = r . Isto, meus caros amigos é a representação polar do nosso número complexo z = x + iy com:

Arg(z) = θ e |z| = r

Agora y/x = r sin(θ)/r cos(θ) = tan θ

Então, θ = tan-1(y/x)

Usando esta relação, podemos encontrar o argumento de um número complexo.

Exemplos Resolvidos Para Você

Questão 1: Se z = -2(1+2i)/(3 + i) onde i= \( \sqrt{-1} \), então o argumento θ(-π < θ ≤ π) de z é:

A) 3 {_frac{π}{4}) B) {_frac{π}{4}) C) 5 {_frac{π}{6}) D) -3 {_frac{π}{4})

Answer : D) Como z = -2(1+2i)/(3 + i)

Multiplicando e dividindo por (3 – i), obtemos

z = -2(1+2i)×(3 – i)/(3 + i)×(3 – i) = -1 – i

Comparando isto com z = x + iy, temos x = -1 e y = -1

Então, θ = tan-1(y/x) = tan-1(1) = -3 \( \frac{π}{4} \)

Porque não \( \frac{π}{4} \frac{π} ? Bem, porque, tanto x como y são negativos. Isto significa que o ponto P está agora no terceiro quadrante. Portanto, θ = -3 \\( \frac{π}{4} \) .

Questão 2: Qual é a estrutura básica de um argumento?

Resposta: O argumento consiste em pelo menos uma premissa que não leva a uma conclusão. Além disso, ele consiste em pelo menos uma premissa e uma falácia que usamos para apoiar uma conclusão. Além disso, um argumento consiste em premissas que são usadas para apoiar uma conclusão.

Pergunta 3: Qual é a lista de argumentos?

Resposta: Argumento refere-se a uma lista que expressamos na lista separada por vírgulas delimitada pelos parênteses numa expressão de chamada de função, ou é uma sequência de fichas de processamento na lista separada por vírgulas delimitada pelas interpolações numa invocação de macro função.

Questão 4: Qual é a diferença entre o argumento principal e o argumento?

Resposta: O valor que se encontra entre -pi e pi é chamado de argumento principal de um número complexo. Além disso, o valor é tal que -π < θ = π. Além disso, θ é uma função periódica com um período de 2π, pelo que podemos representar este argumento como (2nπ + θ), onde n é um número inteiro e este é um argumento geral.

Questão 5: Qual é o argumento de um número real?

Resposta: É o ângulo que o vector e o número complexo fazem com o eixo real positivo. Também, quando o número real é positivo então a resposta é a sua medição do ângulo.