Análise de Complexidade de um Modelo de Jogo Duopólio Cournot-Bertrand com Informação Limitada
On Novembro 23, 2021 by adminAbstract
Um modelo de jogo misto de duopólio Cournot-Bertrand com informação limitada sobre o mercado e o oponente é considerado, onde o mercado tem demanda linear e duas empresas têm o mesmo custo marginal fixo. Os princípios da tomada de decisão são limitados e racionais. Uma empresa escolhe a produção e a outra escolhe o preço como variável de decisão, com o pressuposto de que existe um certo grau de diferenciação entre os produtos oferecidos pelas empresas para evitar que todo o mercado seja ocupado por aquele que aplica um preço mais baixo. A existência do ponto de equilíbrio de Nash e a sua estabilidade local do jogo são investigadas. As dinâmicas complexas, tais como cenários de bifurcação e rota para o caos, são apresentadas utilizando gráficos de parâmetros de bacia por experiência numérica. As influências dos parâmetros sobre o desempenho do sistema são discutidas sob a perspectiva da economia.
1. Introdução
Um oligopólio é uma estrutura de mercado entre monopólio e concorrência perfeita, na qual o mercado é completamente controlado por apenas um pequeno número de empresas que produzem as mesmas produções ou produções homogêneas . Se existem duas empresas, é chamado duopólio, enquanto que se existem três concorrentes, é conhecido como triopólio.
Oligopólio de Cournot e o oligopólio de Bertrand são os dois modelos mais notáveis na teoria do oligopólio. No modelo de Cournot, as empresas controlam seu nível de produção, o que influencia o preço de mercado, enquanto no modelo Bertrand, as empresas escolhem o preço de uma unidade de produto para afetar a demanda de mercado.
Uma grande parte da literatura trata da concorrência de Cournot ou Bertrand no mercado oligopolístico, mas há apenas um número consideravelmente menor de trabalhos dedicados à concorrência Cournot-Bertrand, que são caracterizados pelo fato de que o mercado pode ser subdividido em dois grupos de empresas, o primeiro ajusta os preços de forma otimizada e o outro ajusta sua produção de forma otimizada para garantir o máximo lucro .
O modelo Cournot-Bertrand existe na economia realista. Por exemplo, no mercado duopólio, uma empresa compete numa posição dominante, e escolhe a produção como variável de decisão enquanto a outra está em desvantagem, e escolhe o preço como variável de decisão de modo a ganhar mais quota de mercado. Como sabemos até agora, Bylka e Komar e Singh e Vives são os primeiros autores a analisar os duopólios, onde uma empresa compete em quantidades e a outra em preços. Häckner , Zanchettin , e Arya et al. apontaram que, em alguns casos, a concorrência Cournot-Bertrand pode ser ótima. Recentemente, C. H. Tremblay e V. J. Tremblay analisaram o papel da diferenciação do produto para as propriedades estáticas do equilíbrio de Nash de um duopólio Cournot-Bertrand. Naimzada e Tramontana consideraram um modelo de duopólio Cournot-Bertrand, que é caracterizado por equações de diferença linear. Eles também analisaram o papel da melhor dinâmica de resposta e do mecanismo de ajuste adaptativo para a estabilidade do equilíbrio.
Neste trabalho, nós criamos um modelo de duopólio Cournot-Bertrand, assumindo que duas empresas escolhem a produção e o preço como variáveis de decisão, respectivamente, e todas elas têm expectativas racionais limitadas. O sistema de jogo pode ser descrito por equações de diferença não lineares, que modificam e ampliam os resultados de Naimzada e Tramontana , que consideraram as empresas com expectativas estáticas e descritas por equações de diferença linear. A pesquisa levará a uma boa orientação para que os tomadores de decisão das empresas tomem as melhores decisões.
O trabalho está organizado da seguinte forma o modelo de jogo Cournot-Bertrand com expectativas racionais limitadas é descrito na Seção 2. Na Secção 3, a existência e estabilidade de pontos de equilíbrio são estudadas. Comportamentos dinâmicos sob algumas mudanças de parâmetros de controle do jogo são investigados através de simulações numéricas na Seção 4. Finalmente, uma conclusão é tirada na Secção 5.
2. O Modelo de Jogo Cournot-Bertrand com Expectativas Racionais Limitadas
Consideramos um mercado servido por duas empresas e a empresa produz bem, . Há um certo grau de diferenciação entre os produtos e . A empresa 1 compete na produção como em um duopólio Cournot, enquanto a empresa 2 fixa seu preço como no caso Bertrand. Suponha que as empresas fazem suas escolhas estratégicas simultaneamente e cada empresa conhece a produção e o preço uma da outra.
As funções de demanda inversa dos produtos da variedade 1 e 2 vêm da maximização pelo consumidor representativo da seguinte função de utilidade: sujeita à restrição orçamentária e são dadas pelas seguintes equações (a prova detalhada veja ): onde o parâmetro denota o índice de diferenciação ou substituição do produto. O grau de diferenciação do produto aumentará como . Produtos e são homogêneos quando , e cada empresa é monopolista quando , enquanto que um negativo implica que os produtos são complementos. Assumir que as duas empresas têm o mesmo custo marginal, e a função de custo tem a forma linear: Podemos escrever o sistema de procura nas duas variáveis estratégicas, e : As funções de lucro das empresas 1 e 2 estão na forma:
Assumimos que as duas empresas não têm um conhecimento completo do mercado e do outro interveniente, e constroem as decisões com base no lucro marginal esperado. Se o lucro marginal é positivo (negativo), elas aumentam (diminuem) sua produção ou preço no período seguinte; ou seja, elas são atores racionais limitados . Então o sistema dinâmico misto Cournot-Bertrand pode ser descrito pelas equações de diferença não linear: onde e representam a velocidade de ajuste dos dois jogadores em cada relação, respectivamente.
3. Pontos de Equilíbrio e Estabilidade Local
O sistema (6) tem quatro pontos de equilíbrio: onde , . , e são os pontos de equilíbrio limite, e é o único ponto de equilíbrio de Nash desde que isso e , isso requer . Caso contrário, haverá uma firma fora do mercado.
Para investigar a estabilidade local dos pontos de equilíbrio, deixe-se a matriz Jacobiana do sistema (6) correspondente às variáveis de estado , então onde , . A estabilidade dos pontos de equilíbrio será determinada pela natureza dos autovalores de equilíbrio da matriz Jacobiana avaliados nos pontos de equilíbrio correspondentes.
Proposição 1. Os equilíbrios limite , , e do sistema (6) são pontos de equilíbrio instáveis quando .
Prova. Para o equilíbrio , a matriz Jacobiana do sistema (6) é igual a Estes valores próprios que correspondem ao equilíbrio são os seguintes: Evidentemente , então o ponto de equilíbrio é instável.
Tambem na matriz Jacobiana torna-se uma matriz triangular Estes autovalores que correspondem ao equilíbrio são os seguintes: Quando , evidentemente . Portanto, o ponto de equilíbrio é instável. Da mesma forma, podemos provar que também é instável.
Do ponto de vista econômico estamos mais interessados no estudo das propriedades locais de estabilidade do ponto de equilíbrio de Nash , cujas propriedades foram profundamente analisadas em .
A matriz Jacobiana avaliada no ponto de equilíbrio de Nash é a seguinte
O traço e o determinante de são denotados como e , respectivamente. Em relação ao ponto , , e , agora é mais difícil calcular explicitamente os valores próprios, mas ainda é possível avaliar a estabilidade do ponto de equilíbrio de Nash usando as seguintes condições de estabilidade, conhecidas como condições do Júri : As desigualdades acima referidas definem uma região em que o ponto de equilíbrio de Nash é estável localmente. Também podemos aprender mais sobre a região de estabilidade através de simulações numéricas. Para estudar a dinâmica complexa do sistema (6), é conveniente tomar os valores dos parâmetros da seguinte forma: A Figura 1 mostra no plano dos parâmetros as regiões de estabilidade e instabilidade. A partir da figura, podemos descobrir que uma velocidade de ajuste muito alta fará com que o ponto de equilíbrio de Nash perca estabilidade. Também verificamos que a velocidade de ajuste do preço é mais sensível que a velocidade do produto, e quando aproximadamente , o ponto de equilíbrio de Nash perderá estabilidade, enquanto que o ponto de equilíbrio de Nash fará isso.
A região de estabilidade e instabilidade.
4. Os Efeitos dos Parâmetros na Estabilidade do Sistema
Os gráficos de parâmetros de bacia (também chamados de diagramas de bifurcação 2D) são uma ferramenta mais poderosa na análise numérica da dinâmica não linear do que os diagramas de bifurcação 1D , que atribui diferentes cores num espaço de parâmetros 2D a ciclos estáveis de diferentes períodos. Nesta seção, os gráficos de parâmetros de bacia serão usados para analisar os efeitos da velocidade de ajuste dos jogadores e o índice de diferenciação de produtos na estabilidade do sistema. Definimos e os valores iniciais são escolhidos como .
4.1. Os efeitos da velocidade de ajuste dos jogadores na estabilidade do sistema
Figura 2 apresenta o parâmetro basin em relação aos parâmetros quando e atribui cores diferentes a estados estáveis (azul escuro); ciclos estáveis de períodos 2 (azul claro), 4 (roxo), e 8 (verde) (os primeiros quatro ciclos em uma rota de bifurcação de períodos duplos até o caos) e períodos 3 (vermelho), 5 (laranja), e 7 (rosa) (ciclos estáveis de ordem baixa de período ímpar); caos (amarelo); divergência (branco) (o que significa que um dos jogadores estará fora do mercado em economia).
A bacia de parâmetros para .
>
Verificamos que quando os parâmetros passam pelas bordas como as setas pretas e , o sistema (6) perde a sua estabilidade através da bifurcação flip (chamada bifurcação de período duplo em sistema contínuo), como mostrado nas Figuras 3 e 4. Mas quando os parâmetros cruzam as bordas como a seta, o comportamento dinâmico do sistema é mais complicado, e ele primeiro entra em caos através da bifurcação Neimark-Sacker (chamada bifurcação Hopf em sistema contínuo), segundo entra no período 2, e depois evolui em caos através da bifurcação flip separadamente, como mostrado na Figura 5. Também notamos que na região amarela (caos) existe uma linha vermelha e pontos laranja (ciclo ímpar); ou seja, existe um ciclo ímpar intermitente no caos, como mostrado na Figura 3 à Figura 5. É bem conhecido que, para mapas contínuos 1D, um ciclo com período ímpar implica um comportamento dinâmico caótico (o chamado caos topológico) de acordo com o famoso “período 3 implica caos” resultado de Li e Yorke .
Diagrama de bifurcação para e varia de 1,5 a 3,5.
>
>>
>
Digrama de bifurcação para e varia de 1,5 a 2,8.
>
>
>
Digrama de bifurcação para e varia de 1,8 a 2,8.
Da perspectiva da economia, a velocidade de ajuste das empresas e deve estar dentro de um determinado intervalo; caso contrário, o sistema vai sair da flutuação do ciclo, e depois entrar no caos, o que significa irregular, sensível aos valores iniciais, imprevisível e ruim para a economia. Também descobrimos que o intervalo de ajuste é maior que o de , o que significa que o ajuste do preço é mais sensível que o da produção, e a guerra de preços é mais fácil de colocar o mercado no caos.
4.2. Os Efeitos do Índice de Diferenciação de Produtos na Estabilidade do Sistema
A fim de encontrar as influências do índice de diferenciação de produtos na estabilidade do sistema, as Figuras 6, 7, 8 e 9 dão as bacias de parâmetros para , , , e separadamente.
A bacia de parâmetros para .
>
>>
>
A bacia de parâmetros para .
>
>
>
>
A bacia de parâmetros para .
>
>>
>
>
A bacia de parâmetros para .
Da comparação podemos ver que a área azul escuro se torna maior e a área amarela se torna menor com o aumento do índice de diferenciação do produto; ou seja, o grau de diferenciação do produto é menor, e a gama de parâmetros ajustáveis e para que o sistema permaneça estável se tornará maior, o que significa mais concorrência entre os produtos das duas empresas.
5. Conclusões
Neste artigo, propomos um modelo de jogo misto Cournot-Bertrand, supondo que as empresas não têm a informação completa do mercado e do adversário, e tomam as suas decisões de acordo com o seu próprio lucro marginal. A função demanda e custo é assumida como linear e o modelo pode ser descrito por equações de diferença. O equilíbrio de fronteira é sempre instável e a existência e estabilidade local do equilíbrio de Nash são analisadas. Além disso, analisamos os efeitos dos parâmetros (velocidade de ajuste e o índice de diferenciação do produto) na estabilidade do sistema, e diferentes bifurcações e rotas para o caos são analisadas utilizando gráficos de parâmetros de bacia. Os modelos do jogo Cournot-Bertrand sob diferentes ambientes de marketing precisam ser considerados, e será um tópico interessante para estudo futuro.
Acknowledgments
Os autores agradecem aos revisores por sua leitura cuidadosa e por fornecerem algumas sugestões pertinentes. A pesquisa foi apoiada pela National Natural Science Foundation of China (no. 61273231).
Deixe uma resposta