4.3: Compressibilidade e Expansividade

Derivar uma Expressão para um Derivado Parcial (Tipo I): A regra recíproca

Considerar um sistema que é descrito por três variáveis, e para o qual se pode escrever uma restrição matemática sobre as variáveis

\

Nessas circunstâncias, pode-se especificar o estado do sistema variando apenas dois parâmetros independentemente, pois o terceiro parâmetro terá um valor fixo. Como tal, é possível definir duas funções: \{ z(x, y)} e {y(x,z)}).

Isso permite escrever os diferenciais totais para \(dz) e \(dy) da seguinte forma

e

Substituir a expressão da Equação \ref{eq6} na Equação \ref{eq5}: y) parciais x) direita-z dx + esquerda (fração z) parciais y) direita-x esquerda (fração z) parciais y) parciais z) direita-z dx + esquerda (fração z) \Se o sistema sofrer uma mudança seguindo um caminho onde \(x) é mantido constante (dx = 0\), esta expressão simplifica para

>

E assim para mudanças para as quais \(dz \neq 0\),

>

Esta regra recíproca é muito conveniente na manipulação de derivadas parciais. Mas também pode ser derivada de uma forma direta, embora menos rigorosa. Comece por escrever o diferencial total para \(z(x,y)\) (Equação {eq5}):

Agora, dividir ambos os lados por {dz} e restringir a constante.

>

>

Notem que

>

>

>

>

>

>

Equação \ef{eq10} torna-se

>

>

>

>ou

>

>

>

Este método “formal” de manipulação parcial de derivados é conveniente e útil, embora não seja matematicamente rigoroso. Contudo, funciona para o tipo de derivadas parciais encontradas na termodinâmica porque as variáveis são variáveis de estado e os diferenciais são exatos.